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NOTE PRESENTATE DA SOCI 



Analisi. — Su una serie di funzioni razionali. Nota di Giu- 

 seppe Belardinelli, presentata dal Socio S. Pincherle (')• 



Le serie della forma 

 (1) f(x) = I 



n ~i(x — a ) {x — a 2 ) ••• — ««) 



sono state studiate, in relazione all'aggregato «, , a, . ... ,<*„,..., in casi 

 molto limitati ; benché manifestino subito la loro importanza, essendo gene- 

 ralizzazione delle espressioni che fanno parte del materiale più usuale del 

 calcolo: le serie di potenze per «., = «, le serie di fattoriali per a n — n. 



Tra gli autori che le hanno trattate ricorderemo principalmente Fro- 

 benius (*), Landau ( 3 ), Schnee ( 4 ), Pincherle ( 5 ). Fu prima studiato il caso 

 che i numeri a, , a 2 , a 3 , ... , ce n , ... siano reali ed abbiano un unico punto 

 limite finito od infinito; poi, in casi particolari, quello in cui i numeri a„ 

 siano complessi avendo un unico punto limite all'infinito. 



la questa Nota studio le serie (1), nell'ipotesi che questi numeri a„ si 

 trovino su una circonferenza c di raggio uno con centro nell' origine e formino 

 un insieme denso su questa, dimostrando che sotto determinate condizioni 

 per i coefficienti c n la serie (1) è convergente lungo dei raggi, raggi di con- 

 vergenza del Borei ( 6 ), oltrepassanti la detta circonferenza ed inoltre che 

 questa è una linea singolare essenziale. 



Esaminiamo, prima di tutto, gli sviluppi in serie di polinomi 



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(') Pervenuti all'Accademia il 27 settembre 1922. 



( 2 ) Frobenius, Uber die Entwiklung analytischer Funktionen in Reihen die nach ge- 

 geben Funcktionen fortschreiten, Journal de Creile, t. LXXIU (1871), pag. 1. 



( 3 ) Landau, Sitiungsberichte der mathematisch. physikalischen Klasse der K. B. 

 Akademie zu Munchen, t. XXXVI (1906), pag. 151. 



( 4 ) Schnee, Uber die irregulàre Potenzenreihen und Dirichletschen Reihen, Inau- 

 gurai Dissertatici), Berlin, 1908. 



( 5 ) Pincherle, Sulle serie dì fattoriali generalizzate. Rendiconti del Circolo mate- 

 matico di Palermo, t. 37 (1914), pag. 379. 



( 6 ) Borei, Sur les séries de polynomes et de fractions rationaelies, Acta mathe- 

 matica, t. 24 (1901), pag. 309. 



Rendiconti. 1922, Voi. XXXI. 2° Sem. 31 



