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e determiniamo delle aree A„ in cui sono uniformemente ed assolutamente 

 convergenti. 



Prendiamo due numeri R > 1 ed r tale che << r <] 1 e descriviamo 

 una circonferenza c' avente per centro l'origine e raggio R, ed un'altra 

 c" avente per centro il punto 1 e raggio r. Conduciamo da le due tan- 

 genti al cerchio c" ed indichiamo con a e b i loro punti di contatto, con 

 a' e b' i punti d'intersezione di queste tangenti col cerchio c' , a' essendo 

 sul prolungamento di Oa , e V sul prolungamento di Ob. Ciò fatto conside- 

 riamo il contorno composto dall'arco ab < ' n del cerchio c\ dai segmenti di 

 retta aa! bb' e dall'arco db' > n del cerchio e', l'area interna a questo con- 

 torno indichiamola con A. La funzione - - - , entro questa area, è rappie- 



P=_oo 



sentabile da una serie di Goursat V P p (x) uniformemente ed assolutamente 



p= 



convergente ed avrà un massimo valore assoluto M. Ciò premesso, costruiamo 

 delle aree A„ , analogamente alla area A, sostituendo il punto 1 con a ny 

 r con u„ , numeri positivi u n che determineremo più avanti ed indichiamo 

 con (u n ) i cerchi di centro a n e raggio u n , ed R arbitrariamente grande, ed indi- 

 chiamo con M„ il massimo valore assoluto della funzione — in queste 



1— - 



«n 



P=*> / x\ 



aree A„, nelle quali 5_ P. p l — 1 sarà uniformemente ed assolutamente con- 



p = o \ a n I 



vergente. 



n=oo 



Fissiamo ora i raggi u„ dei cerchi (u n ) in modo che u n sia Conver- 

 gi 



gente ed inoltre che 



h~<x> 



k J- + "* < M,-M ! m; 



e da questi u n facciamo dipendere i coefficienti c n in modo che 



h ~oo fj 

 (2) >_ U h <C n < 



/i=n+l 



M, • M 2 M„ ' 



Avremo che le serie (1), così determinate, sono tali che i punti a n sono 

 punti singolari per le funzioni analitiche rappresentate da (1) rispettiva- 

 mente dentro e fuori della circonlerenza c. 



Infatti 



( 3) m = T i=vra p, (±) . Pl ( «) ... p, ( *) * 



„=l «i • «2 • «3 «<» \«2 / \«n/ 



n = oo 



< >_ c n M, • M 2 M„ 



n = i 



