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ed essendo . c n <[ 



K " — _oo 



— — - per la (2) e Y w„ convergente, la (1) sarà 



■Mj • M 2 M n „ _ t 



assolutamente ed uniformemente convergente per tutti i valori di interni 

 alle aree A„ sopra definite, così all'interno ed all'esterno della circonfe- 

 renza c. 



Inoltre, avendo circondato i punti a n con cerchi (u n ) tali che Y u n con- 



n = 1 



vergente, esisterà un'infinità non numerabile di raggi entro ogni angolo©, 

 avente il vertice in 0, raggi oltrepassanti la circonferenza c e non passanti 

 per nessun punto a n ( 1 ), raggi di convergenza di Borei, tali ohe su di essi 

 la serie (1) sarà pure assolutamente ed uniformemente convergente. Per stu- 

 diare la f(x) sulla circonferenza, consideriamo un punto a p e scindiamo la 

 serie in due parti 



n=p— 1 



f(x) = 



c , 



Z=\ (■'' — "i) {x — a % ) ■■■ (x- 



(,/ — a l )(x—a t )-{x — cc p )[_ p x — a p+l {x — a p+l ) ( 



x ■ 



*p-i-2> 



per x tendente ad a p la prima parte è finita, la sjconda parte invece tende 

 all'infinito, perchè la serie che vi comparisce, non essendo a p radice dei de- 

 nominatori, è convergente ed inoltre, per le (2), in modulo diversa da zero. 

 Infatti per ogni p si ha 



'P + 2 



< 



X — a 



p+\ 



■-p + 2 



[X— CCp-n) (X — CCp+z) 



-f ••• <tf p+ ., M p+1 -f Cp+ 2 M p+l M p+Ì -{- ■■■ <C.u p+l -{- Up+z + ••• <c 2; 



Avromo dunque che i punti a r sono effettivamente punti singolari per 

 le funzioni analitiche rappresentate dalla (1) rispettivamente dentro e fuori 

 della circonferenza <?, che rappresenterà dunque all'interno una funzione ana- 

 litica regolare /, (x) , e così all'esterno una funzione analitica regolare f t (x) 

 e non si potrà passare dall'una all'altra mediante il prolungamento analitico 

 di Weierstrass. 



(*) Borei, loc. cit. pas;. 344. 



