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Geometria. — Nuova trattazione della geometria proiettivo- 

 differenziale delle curve piane. Nota IV di Gustavo Sannia, 

 presentata dal Socio Enrico D'Ovidio. 



17. Il triangolo normale PTN si è presentato naturalmente come trian- 

 golo di riferimento (n. 9), ma l'equazione (31) della conica osculatrice ne 

 suggerisce un secondo ; perchè, ponendo 



(41; X — I Z/2 = X — l Z = a§ , Y = jj , Z = or 1 1 {a cost) , 



si riduce alla più semplice forma a cui possa ridursi l'equazione di una 

 conica non degenere in geometria proiettiva : ry 2 — 2 f f == . E così pure 

 si semplificano le successive equazioni. 



Poiché X — IZ/2 = o £ = rappresenta la retta t' già definita ( 32 ), 

 eseguire la trasformazione (41) equivale a sostituire la retta t' al lato TN 

 del triangolo normale, ottenendo il triangolo canonico di riferimento (Wil- 

 czynski) coi lati t ,n , t e che è autopolare rispetto alla conica. 



In coordinate non omogenee 



(42) 1=7}:$ , ^ = £:£ 



la curva r avrà una equazione locale f{X , fx) = , rispetto al nuovo tri- 

 angolo, da cui si può dedurre fx come serie di potenze di X , in un intorno 

 di P: 



j fi = X V. + X 1 ' - I V'5Ó A ifu + 1Q (42 + 9 1, + 22 II,) X */ 6S + 

 1 } ( +5 J/20 (2750 P — 4579 I 2 ) X 9 / 2592 + R 19 . , 



se si prende a = — f/ 20 nelle (41) ( 33 ). 



( 3a ) In fine del n. 13. Cfr. («). 



3 3 



( 33 ) Il che equivale a scegliere come punto unità X = 4y50-f-I , Y = — 2^20, ' 

 Z = 2. 



Lo sviluppo canonico (43) dell'equazione di una curva è del Wilczynski, ma arre- 

 stato al termine in l 1 . Precisamente egli trova (a pag. 84) 



fi = r-j 2 + A 5 + (— 20) 9 / 3 e 8 r/10080003 8 ' 3 . 



Dal confronto dei due coefficienti di A 7 si deduce che l'invariante assoluto 8 : 3 8 ' 3 , 

 usato dal Wilczynski, vale — 91. 



Per una curva anarmonica (n. 16) la cui curvatura costante coincida con quella 1 

 che T ha nel punto P , lo sviluppo (43) coincide con quello di T fino al termine in A 7 ; 

 se ne deduce che la curva anarmonica osculatrice a r in P ha con r un contatto di or- 

 dine 7 , quindi intermedio fra quelli (-1 e 8) della conica e della cubica osculatrici. 



