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tire dalle superficie (che dirò di Veronese) F' 2 r di S N che pure si assu- 

 mono a rappresentare le C" piane ('). 



Il ponte di passaggio fra le rappresentazioni — per dirla in breve — 

 di Severi e di Veronese sta in quelle nozioni di geometria proiettivo-diffe- 

 renziale di cui mi sono più volte servito e che si ripresentano anche qui 

 con carattere di assoluta necessità. 



2. Superficie di Veronese: interpretazione dei loro spazi oscu- 

 latori. Curve spezzate. — Si considerino le rette di un piano ti ciascuna 

 contata n volte: alle oo 2 rette del piano si facciano corrispondere gli co 2 



■2 



punti della superficie Fa di S N che hanno per coordinate proiettive omogenee 



I 3 \ n 3 



i coefficienti dello sviluppo di y^aiXiJ essendo 5^ ai Xi = l'equazione 



della retta. Alle rette (contate n volte) passanti per un punto corrispondono 

 su F i punti di una curva razionale normale d'ordine n che indicherò con y 

 (o y n )\ brevemente: ai punti di n corrispondono le curve y di F. 



Si consideri lo spazio k — ■ osculatore ; 2 ), che indico con S(k) = S fe t ; i+3) , 



2 



in un punto H di F . Vale il teorema seguente: le C n spezzate in una 

 retta (n — A)-pla e in una C h sono rappresentate dai punti dello S(k) 

 osculatore ad F nel punto H che rappresenta la retta (n — /£)-pla [così 

 p. es. le C" spezzate in una retta (n — l)-pla ed in una semplice si rap- 

 presentano sulla V 4 dei piani tangeuti ad F ; le C" spezzate in una C" _1 

 ed in una retta nei punti della V N _ )I+1 luogo degli S (n — 1) osculatori 

 ad F] ( 3 ). L i r ippresentazione della G h residua [punto di S(&)] si fa 

 nello stesso modo rispetto alla superficie di Veronese F 2 , contenuta in 



(!) Vedansi (particolarmente per le coniche) le Memorie di Veronese, La superficie 

 omaloide etc. [Meni. Lincei, 19 (3), 1883-84] e di Segre, Considerazioni intorno alla 

 geometria delle coniche etc. [Atti Acc. Torino. 20. 1885] e i capitoli 14 e 15 della In- 

 trodurne alla geometria proiettiva degli iperspazi di E. Bertini [Pisa, Spoerri, 1907]. 

 Nella Memoria di G. Bordiga, Sul modello minimo della varietà delle n-ple non or- 

 dinate dei punti di un piano [Ann. di Matem., s. Ili, t. XXVII, 1918] si trova studiata, 

 in forma duale, la M an delle C n spezzate in n rette (ved. in particolare i un. 5-8). 



( 2 ) È lo spazio ambiente degli S* osculatori alle curve di P uscenti da un suo 

 punto (per k = 1 si ha il piano tangente); può vedersip.es. la mia Memoria : Proprietà 

 differenziali caratteristiche di enti algebrici [Mem. Lincei, 13 (5), 1921] che ha qualche 

 relazione con questo latore 



( 3 ) Naturalmente ogni configurazione proiettivamente legata ad F ha interesse per 

 la rappresentazione delle C n ; così lo osculatore ad una y ih un suo punto H rappre- 

 senta le C" composte di una retta (re — A")-pla (corrisp ad H) e di k rette passanti per 

 un suo punto (corrisp. a y). Ancora: lo spazio S (ft+1) (fe+2 ) ^ tangente in un punto alla 



varietà degli oo 2 S(&) osculatori ad F rappresenta le C n spezzate in una retta (n — Tt — l)-pla 

 [corrisp. al punto d'osculazione con F dello S(k) contenuto in S pu-p g +2 ) | ^] in una 



retta semplice e in una C fc . Etc. 



