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S(k) che riesce osculatrice (con contatto d'ordine k) alla F£* di S N in H (') 

 (sicché p. es. una G n spezzata in una retta (n — /c)-pla e in una #-pla rap- 

 presentate rispett. dai punti H e H' di Ff è rappresentata dal punto di 

 intersezione dello S(/;) osculatore in H e dello S(n — k) osculatore in H', 

 o, ciò che fa lo stesso, dall'intersezione degli S ft e S„_ s osculatori in H e H' 

 alla curva y che li congiunge: punto che appartiene alle due superficie 

 Ff e Fi' 1 -*' 2 osculatrici ad Ff in H e H'). 



Si ha così la rappresentazione delle C" spezzate in una o più rette 

 (semplici o multiple) e in una curva residua. 



Per rappresentare lo C' 1 spezzate in una G k e in una C n ~ k si associ 

 ad una C' ; rissata una retta (n — #)-pla: al variare di questa il punto 

 rappresentativo della C" così spezzata descrive una F { 2 n ~ k) il cui ambiente 

 rappresenta con i suoi punti le C il spezzate nella C k fissata e in una re- 

 sidua C n ~ n . 



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3. Curve nodate e cuspidate. — Si considerino su F£ una curva y 

 e gli S(n — 2) osculatori ad F nei punti di y: questi appartengono ad uno 

 spazio S N _ 3 che può dirsi (n — 2) — osculatore ad F lungo y . I punti 

 di S N _3 sono le imagini delle C n che hanno un nodo nel punto (di n) 

 rappresentato (su F) da y. Gli oo 2 S N _ 3 relativi alle oo 2 curve y costi- 

 tuiscono l' ipersuperficie M delle C n nodate. 



Gli S N _, tangenti ad M sono oc 2 (ciascuno essendo fisso lungo l'S N _* 3 

 che contiene): uno di essi può costruirsi come spazio (n — 1) — osculatore 

 ad F lungo una curva y (cioè congiungente n curve y x y 2 ... y n infinitamente 

 vicine) e rappresenta le C" passanti per il punto che ha per immagine y . 



Si consideri poi 1' S N ^ 6 (n — 3) — osculatore lungo una y (cioè con- 

 giungente y x y 2 ... y n -z) e da esso si proiettino gli S(n — 2) osculatori (ad F) 

 nei punti di y: si ottengono oo 1 S N _ 5 costituenti un cono quadrico che 

 ha per ambiente 1' S N _ 3 di prima relativo a y. Gli S N _ 4 tangenti congiun- 

 gono gli S N ^ 5 relativi a due punti infinitamente vicini di y: diciamo uno 

 di essi punto di contatto dello S N _. ( con y. Per un punto generico di S N _ 3 

 passano due S N _ 4 tangenti a V* e i loro punti di contatt > con y rappresen- 

 tano le tangenti nodali della C rt che ha per immagine il punto di S N _ 3 . 

 Completiamo quindi l'enunciato precedente così: 



Le C" con cuspide e tangente cuspidale assegnata si rappresentano 

 nei punti dello S N _ B congiungente lo spazio (n — 3) — osculatore ad F 

 lungo una y (cuspide) con lo S(n — 2) osculatore in un suo punto (tan- 

 gente cuspidale): al variare di questo su y, lo S N _ 5 descrive un cono V,j_ * 

 rappresentante le G n con cuspide assegnata; i punti di uno S N ^_i tangente 

 rappresentano le C" con nodo ed una tangente nodale assegnata. 



( l ) L'esistenza e la costruzione della superficie di Veronese osculatrice si trova 

 nella mia Memoria citata, ultimo enunciato del n. 9. 



