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4. Curve con ponti multipli. — In modo analogo guadagniamo la 



rappresentazione delle C n con un -punto A'-plo : essa è la varietà costituita 



dagli oo 2 spasi S ^h+d che riescono (n — k) — osculatori ad F lungo 

 N _ 



le sue oo 2 curve y 



Fissiamo una y (quindi il punto #-plo) e consideriamo inoltre lo 



S (S+s) = S n _k_i = — - ^ j che riesce (n — k — 1) — oscu- 



latore ad F lungo y e da questo proiettiamo gli S(w — k) osculatori nei 

 singoli punti di y: si ottengono così oc 1 S N _ K generatori di un cono V£_ K . i . 

 Se di più si considerano gli spazi S che hanno un contatto d'or- 



N 1 — 1 



2 



dine k con questo cono (congiungenti lo S N _ K relativo ad un punto di y, 

 che si dirà d'osculazione, con gli spazi così costruiti per k — 1 punti infi- 

 nitamente vicini su y), situati nell'ambiente del cono S , per ogni 



N 2 



punto di questo passano k di quegli spazi e i loro k punti d'osculazione 

 con y rappresentano le k tangenti nel punto A'- pio; queste possono essere 

 in tutto o in parte distinte. Coincidon < p. es. tutte se il punto considerato 

 si trova sul cono V£_ K fi, il quale dunque rappresenta le C" con punto 

 &-plo assegnato e con tangente A-pla (che rimane fissata quando si fissi lo 

 spazio generatore del cono): il luogo di questi oc 2 coni [al variare di y) 

 rappresenta la totalità delle C n che posseggono un punto A-plo con tan- 

 gente #-pla (ivi). 



5. Puxti multipli successivi. — Chiuderò questa Nota indicando la 

 rappresentazione delle C" dotate di due punti doppi infinitamente vicini 

 (tacnodo). 



Si consideri una y (immagine del tacnodo) ed un suo punto H (imma- 

 gine della tangente tacnodale) : si congiunga poi lo S N _( (n — 4) — oscu- 

 latore ad F lungo tutta la y con gli spazi (n — 3) — osculatori ad F in H 

 e in due punti H' e H" infinitamente vicini ad H su y (si ottiene così 

 un S N _7) e con lo spazio (n — 2) — osculatore ad F in H : lo spazio con- 

 giungente, S N _6 , rappresenta con i suoi punti le C n che hanno il tacnodo 

 e la tangente tacnodale assegnati. 



Invece: lo spazio S N — £ congiungente lo S N _ 10 con lo spazio (n — 2) — 

 osculatore ad F in H rappresenta le C" di prima per le quali il tacnodo 

 è armonico (secondo la denominazione di Segre). 



6. La rappresentazione analitica delle varietà così introdotte (e delle 

 analoghe) si ha dalla notissima rappresentazione paramedica della F con 

 sole operazioni di derivazione: indi la formazione d'invarianti per le forme 

 ternarie. 



(') Il risultato vale anche per n = k: la varietà degli oo 2 S» delle y rappresenta, 

 coi suoi punti, le C B spezzate in n rette formanti fascio. 



