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^ 2 étant le paramètre différentiel second par rapport à F 2 . Od démontre 

 facilement les identités 



1 



- 3 4 Du ~ fjl — J n j 2ì _ 



j 1 ~ÒX 2 ~àXi\ 

 *\ì\X x — — - x 2 — — — 

 V 1)U Du 1 



. ~òX 2 

 "11 I -^ì "T X 2 ~ 



Do 



t ^ fc ^3 



DV DV 



1 



Dx 2 



^22(^1 ^2 — I — 



\ Du du I 



^12 j X 



Do 



Dv 



etc. On a donc, les accroissements du et «!y étant quelconques, 



Xi dx 2 — x 2 dxi zìi (? 3 dU — £ 4 d% z ) = 



t Dx 2 Dx 2 t \ / D% t , , ìx l ,, \~ 

 X\ I — — ou 4- do ) — x 2 \ — - du 4- óv } 



\ 5". io \~òu ìtv / 



f/ ^/j 2 ^/ 22 



etc. , où j'ai pose 



= — (Jn du 4- J 22 do) -f- y J] 2 — J t i J 22 . du , 

 Sv — =i= (4 U du 4r Judv) -f ^12 — 4\ 1^22 • ^ , 



ainsi que 



z/ n <Jw -f- ^12 ^ = h— K^la — ^11 ^22 ■ ^ ^ 

 ^/ 12 -j- ^22 = — \l d\ 2 — ■ Jn J 22 . àu , 



et 



J n du 2 4r 2Ju Su 60 -f- J i2 dv 2 = . 



2. Nous somrnes ainsi arrivés au théorème suivant dont nous allons 

 développer quelques conséquences : Les cordonnées des tangentes asympto- 

 tiques de S sont 



(1) Xi dx 2 — x 2 dxi =t (£ 3 d£ 4 — £ 4 d£ 3 ) , etc. 



Supposons qu'une autre surface S' touche S suivant une courbe C. On 

 eboisit le facteur arbitraire des coordonnées //, , y 2 ., y z , y A des points de S' 

 de facon que Fon ait, en chaque point de C , xì == y% . Soient rj x , rj t , rj 3 , rj 4 

 les coordonnées homogènes des plans tangents de S déduites des y préci- 

 sément comme nous avons déduites les £ des x. Suivant la courbe C, on a 



y% = *i 1 Vi = G %i • 



f 1 ) Voir G. Fubini, Fondamenti di geometria proiettivo-differenzìale. Rendiconti del 

 Circolo Matematico di Palermo, t. 43, 1918-19, § 4. 



