Les coordonnées des tangentes asyraptotiques de S' sont 

 V\ dy 2 — ih dy x rt (rj 3 drj 4 — r] 4 drj 3 ) , etc. , 

 ce qui devient sur la courbe C 



(2) a;, dx t — x 2 d>\ rt ff 2 (£ 3 dU — f 4 d£ 3 ) , etc. 



Gondition nécessaire et suftìsante pour que le contact soit da second 

 ordre (au moins) suivant tonte la courbe C, est évidemment 



a* = 1 . 



En chaque point de C, le oouple des tangentes asymptoliques de S, 

 et également celili des tangentes asymptoliques de S' , appartieni à V in- 

 volution dont les éléments doubles sont la tangente de C et la tangente 

 conjuguée. Le rapport anharmonique des deux couples des tangentes asympto- 

 liques et des deux éléments doubles est ff- 4 . 



3. Supposons maintenant que C soit une courbe de Darloux de S; 

 alors, le long de C, est vérifiee l'équation 



(3) S{d< d 9 §— d£d 2 x) = . 

 L'équation differentielle des courbes de Darboux de S' est 



S(dy d 2 i) — drj d' 2 y) = . 



Le long de C, le premier membre en est 



S[_dzd 2 (0g) — d(o£)d ì :/r\ = 

 = a S(dx d 2 $ — d$ dH) -f da S(2dx d% — £d 2 x) = 3d<f . Sdx c# . 



Si l'on exclut le cas trivial que C soit une droite, Sdxd£ ne peut 

 s'annuler; si l'on se rappelle la signirìcation géométrique de a , on peut donc 

 éiioncer le théorème suivant: Si lei courbe de contact G (non droite) de 

 deux surfaces S et S' est une courbe de Darboux sur S, pour qu elle 

 soit aussi une courbe de Darboux sur S' , il faut et il suffit que le rapport 

 anharmonique des tangentes asymptotiques des deux surfaces soit Constant 

 le long de C. 



4. En chaque point de S, l'équation (2) détìuit les trois tangentes à 

 l'intersection de S et de la quadrique de He du point considéré; si S est 

 une surface réglée, ces trois tangentes coincident dans la génératrice, ou bien 

 de vienile ut indéterminées; cette dernière circoustance a lieu, si S n'est pas 

 une quadrique, le long de deux courbes /lecnodales, aux points desquelles S 

 a un contact du troisième ordre avec l'kyperbolo'ide osculateur. Si l'on applique 

 la proposition du numero précédent, on obtient le théorème suivant : Si une 

 courbe C tracée sur la surface S est une courbe de Darboux sur S , C 

 est une courbe flecnodale de la surface engendrée par les tangentes asympto- 



