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Matematica. — Sul numero dei numeri primi inferiori ad 

 un limite assegnato. Nota del dott. Francesco Sbrana, presentata 

 dal Socio T. Levi-Oivita. 



1. Del numero dei numeri primi inferiori ad un limite assegnato si 

 conoscono diverse espressioni, che furono ottenute ricorrendo alla teoria delle 

 funzioni di variabile complessa (*), o anche a procedimenti algebrici ( 2 ). 

 Ci proponiamo di stabilire, coli' impiego delle funzioni circolari, un'altra 

 espressione di quel numero, la quale offre il vantaggio di presentarsi in una 

 forma notevolmente semplice. 



2. Anzitutto, fissati due numeri interi e positivi n e k, e supposto 

 n < k, osserviamo che la somma 



vale ti, se n è un divisore di k; in caso contrario, dalla nota identità 



cos (n + 1) x sen nx 



> cos 2hx = — ! , 



— h sen x 



segue, per x — — -, che la somma (1) vale zero. 

 ° n 



Di qui deduciamo, indicando con 6 k il numero dei divisori di k , 



1 ^ 2hkn 

 Oh — > " > h cos . 



i 1 ) La prima delle formule di questo tipo è dovuta al prof. Levi-Civita ; ved. Eend. 

 Lincei, 1895, 1° sem., pag. 303. 



C 2 ) Ved. Von Koch, Comptes rendus de l'Académie des Sciences, 1894, 1° semestre, 

 pag. 850. 



Per un'estesa esposizione delle ricerche fondate sullo studio della funzione £ di 

 Kiemann, e per la letteratura sull'argomento, cfr. Landau, Handbuch der Lehre der Ver- 

 teilung der Primzahlen. 



