di (d) è dunque sviluppabile fuori del cerchio C (I, 6) in serie della forma 



(2) f( x) = ^f 2 + .... 



Se f(x) appartiene ad (3), vi appartiene anche Sf. 



3. Essendo R il numero definito ad I. 4, e preso |x| = r^>R, si ha, 

 q essendo positivo maggiore d'uno ed x A = Sx (x„ = S n x) : 



\% 1 1 = f\ !> qr m ~ l . 



Sia ora M il massimo valore assoluto di f(x) sulla circonferenza \x\ = r 

 ed Mi il massimo valore assoluto di S/' sulla medesima circonferenza: po- 

 tendosi supporre senza restrizione qr m ~ 2 > 2 , si avrà, tenuto conto del va- 

 lore maggiorante Mr" di c n , 



2M 



(3) M,< 



In base a questa disuguaglianza, una serie 



(4) g(x) = f k„ S»/ 



risulta assolutamente ed uniformemente convergente per ogni \sc\ > r, e per 

 ogni sistema di coefficienti k„ paragonabile assintoticamente ad una progres- 

 sione geometrica ed anche ad una progressione ultrageometrica (iP n con a 

 e b maggiori dell'unità e b <^m — 1 . Ciò consegue subito dalla (3) appli- 

 cata ad Sy invece che ad /' e dalla (4') della Nota I. E poiché, comunque 

 preso x in Sì, si può determinare un a tale che, per n~^>n, sia |#„|>R, 

 così la convergenza della (4) ha luògo in tutto Sì; la g{x) appartiene essa 

 pure ad (3) . 



4. Scegliendo le k„ in modo da soddisfare a relazioni ricorrenti, la (4) 

 darà soluzione di corrispondenti equazioni funzionali. Il caso più semplice 

 si ha assumendo le k n come termini k n di una progressione geometrica; la 



(5) g{x) = f k n S n / 







soddisfa all'equazione 



(6) g{x) — k*g(x) = /(»), 



e, poiché la (5) è funzione intera in k, la (6) appartiene al tipo Volterra, 

 in guisa che l'equazione omogenea 



(7) g(x) — kg («(#)) = 



non ammette soluzione nello spazio funzionale (3): l'impossibilità della (7) 

 in questo spazio è, del resto, resa manifesta dalla (3). 



