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(8) 



5. a) Si consideri il quoziente 



x m 1 



a(x) , ai . , a* 



indi si prenda \x\ — /\ con r abbastanza grande: 



1°) da superare il numero R definito ad I, 4; 



2°) da rendere convergente lo sviluppo di (8) in serie di potenze 



di — , che si può scrivere 



x 



a(x 



1 + , 



dove @{x) è elemento di (3), poiché a(x) appartiene al caso A; 



3°) da rendere il massimo valore assoluto M di ft(x) inferiore alla 



unità. 



Formando allora 



(9) (i+fls))!/»., 



questa è pure sviluppabile in serie di potenze di l:x, per \x\^>r, ed è un 

 ramo ad un valore di funzione analitica entro tutto Sì, se si fissa che, per 

 x = oo , essa abbia il valore 1 : infatti, per ogni curva chiusa descritta 

 da x in Sì, essendo i punti di diramazione della (9) tutti fuori di Sì, essa 

 riprende il medesimo valore. Ponendo 



(1 +p(x)) l »* = l + Y i(x), 



anche yi{x) è elemento di (ci). 



b) È facile vedere che essendo il massimo valore assoluto M di fi(x), 

 per \x\^>r, inferiore all'unità, il massimo valore assoluto M, di y\(x) è 

 non maggiore di M. Ma, essendo Yi(x) elemento di (3), il massimo valore 

 assoluto di Syi(x) sarà (n. 3) inferiore a 



(10) - 2M ' 



qr m-2 



e quindi, posto 



(1 + S yi (.))^ = (-^)™ 2 =1 + ^), 

 \ #2 yx ) 1 



anche il massimo valore assoluto M 2 di y 2 (x) sarà inferiore a (10). Così 

 continuando, posto 



\ ce n (x) 1 



1 + 7n(x) , 



