il massimo valore assoluto M„ di y„{x) è legato a quello M„_, di y n -i(%) da 



(") M,<fs. 



<l f n-l 



6. Si consideri ora il prodotto infinito 



d2) =-n(i+ y ^)). 



La serie 2y n (x), avendo per maggiorante la — M„, per la quale val- 

 gono le (l 1 ), è assolutamente ed uniformemente convergente per \x\^> r \ 

 lo stesso è dunque, nel medesimo campo, del prodotto infinito (o(x), che vi 

 rappresenta di conseguenza uu ramo ad un valore e regolare di funzione 

 analitica. Ma il prodotto (12) si può scrivere 



1 f-l 00 



X i p 



ora, presa un'area €1 finita e tutta interna ad Si, si può (I, 3) prendere /S 

 abbastanza grande perchè, per ogni x di €1 ed ogni n^p, sia 



r essendo definito al n. 5, "). Ne viene che il prodotto fi è, per tutta 



v 



l'area GL, nelle condizioni di convergenza assoluta ed uniforme già consi- 

 derate, e quindi lo stesso è di a>(x) . Quindi la m(x) è ramo di funzione 

 analitica regolare entro tutto Sì, e ad un valore, per essere fuori di Sì i 

 punti di diramazione dei fattori di (o(x), cioè le radici delle a n (x). 



7. La (o(x) può anche porsi sotto la forma 



a p (x) Wri/ \ a p+2\?>)/ 

 onde segue che la <a{x) soddisfa all'equazione funzionale 



(14) »(«(»)) = oì m (x). 

 Da questa, 



(15) log w{a{x)) = m log (o(x): 



quindi l'equazione (7), che non può essere soddisfatta nello spazio funzio- 

 nale (3), diviene possibile mediante l'aggiunzione di Ioga; a questo 

 spazio. 



8. La funzione m(x), di cui si è stabilita l'esistenza e la regolarità 

 nel campo Sì, che è nulla per x= -jo ed appartiene di conseguenza ad (3), 

 gode delle seguenti proprietà: 



