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a) È |eo(a;)Kl entro tutto Sì. Infatti, posto w(x) = u, si ha, per 

 la (14), 



ta(x 1 ) = u m , ... (o(x„) = u™" ... ; 



male x n tendono all'infinito, ed oo(x„) in corrispondenza tende a zero ; onde 

 è 1 . 



b) La (o(x) non si annulla in Sì, se non per x = <*>. Se infatti 

 per x = x fosse (»(^) = 0, ne verrebbe, per la (14), w{x n ) = 0, e quindi 

 x = ce sarebbe punto limite di radici di co . contro il fatto che co è rego- 

 lare per x — oo . 



c) La oo(x) non riprende uno stesso valore in due punti di Sì. Essendo co 

 regolare e nulla di prim'ordine per x = oo , si può determinare un r tale 

 che, per |a;|)>r, oo(x) non prenda due volte uno stesso valore. Ma allora 

 per due punti x ,y ài Sì non può essere <a(x) = »(?/), poiché ne verrebbe 

 <o(x n ) = <o(i/„), dove n si può fare abbastanza grande per rendere \x„\^>r, 

 \Vn\>r. 



d) Sia x un punto di Sì, x'u , x[ 2 , ... x[ m i suoi primi antecedenti; 

 sia co(x) = u. Le co (#!,•) saranno, per la (14), altrettante radici m sìm " di u, 

 e, per / = 1 , 2 , ... daranno tutte le radici m sime , in seguito a c). Se ora 



(16) x [, 4,... 



è una successione qualunque di successivi antecedenti di a-, i moduli della 

 successione 



(17) (o(x[) , co(4) , - - 



tenderanno all'unità. In particolare, si può scegliere x' n in modo che <o(x' n ) 

 abbia per argomento ^ ; le (17) tendono allora all'unità. 



e) Qualunque sia il numero u di modulo minore d'uno, l'equazione 

 ca(x) = ù ammette in Sì una radice. Infatti, per essere x = oo uno zero di 

 prim'ordine per co(«r), si può determinare un numero positivo q tale che, 

 per |m|<<o, si possa, dalla w(x) = u ì ricavare 



(18) — = u -j- g 2 u 2 -J- v? -j ; 



e seè|wK^, questa dà il valore richiesto per ce . Se è invece l>|àf|^>^, 

 si può sempre determinare l'intero p in modo che sia \u mP \<CQ; determi- 

 nato x tale che <o(x) = u mP , uno degli antecedenti p s ' mì di x sarà radice 

 di a(x)=u. Questa radice, per e), è unica. 

 9. Ponendo 



(19) 



(o(x)=u, o, invertendo, x = %{u) 



