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si stabilisce una rappresentazione conforme del campo Sì del piano x sul 

 cerchio del piano u. Questa corrispondenza è biunivoca (8, <?); al 



centro del cerchio corrisponde il punto x = co . Alla sostituzione Sx = a(x) 

 corrisponde in u la trasformazione Tu = u m . Alle circonferenze |«|=c, 

 <i c , corrispondono in Sì le curve equimodulari 



(20) M«)h0; 



queste, al tendere di e all'unità, tendono al contorno T di Sì. 



La trasformazione T genera il gruppo continuo ad un parametro 



T* u = u mV 



(v reale qualunque) di cui le circonferenze \u\ = c ed i raggi arg. u= c 

 costituiscono sistemi di imprimitività; le traiettorie sono spirali logaritmiche 

 di polo 0. La trasformata S di T mediante w(x) dà il gruppo S*(x) = a H (x), 

 che definisce l'iterata di a(x) di indice reale qualsivoglia v; l'espressione 

 analitica di questa iterata è 



(21) a*{x) = S(J*\x)). 



Le curve (20) costituiscono, per il gruppo S v , un sistema di imprimi- 

 tività, e così le curve arg. <»(a;) = cost. Le traiettorie del gruppo & sono 

 le trasformate, mediante le (19), delle spirali logaritmiche di polo u = 

 del piano u. 



10. La funzione £, inversa di w, è definita dalla equazione funzionale 



(22) «(£(«)) = f(w m ) 



e dalla condizione di avere un polo di prim'ordine per u = 0. Posto dunque 



H^)=^- + 9o + 9iu -\ , 



si può, da (22), determinare i coefficienti g , g x , ... 



Se ora ciò si applica all'esempio particolare a(x)=x 2 — 2, si trova, 

 con calcolo assai facile, 



9o = 92 — ih = ■ • ■ = , #1 = 1, 



onde 



1 



u 



Da ciò il carattere elementare dell'iterazione di indice qualunque di 

 x* — 2, carattere che è posto in rilievo nella Nota comparsa in questi Ren- 

 diconti della seduta del 4 aprile 1920. 



