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domanda, consideriamo dei determinanti di ordine n -jr 2 , di cui la prima 

 riga è formata dalia x, da sue derivate o differenziali, e le altre righe se 

 ne ottengono sostituendo alla x ordinatamente le y,...,tc. Indicheremo nel 

 seguito un tale determinante, dando gli elementi della sua prima riga. 

 Consideriamo ora un determinante, la cui prima colonna abbia per elementi 

 le x,y,...,w, altre colonne successive abbiano per elementi tutte le loro 

 derivate parziali fino a quelle di un certo ordine k (dove k è un intero da 

 determinare), ed altre colonne abbiano per elementi differenziali della x o 

 delle sue precedenti derivate: con l'avvertenza che, se una colonna ha per 

 elementi certi differenziali di una derivata di ordine h, vi siano altre co- 

 lonne che hanno per elementi i differenziali di ogni altra derivata di or- 

 dine h. Riuscirò più chiaro, dando un esempio per il caso r— 2, in cui i 

 primi determinanti da studiare sarebbero i seguenti : 



(x , X, 



, x 2 , d z x) 



(se 



n = 



2) 



(jC *, OC\ 





(se 



ìi = 



3) 



[oc ) OC \ 



/y /v» ry-> /y> \ 



, iA/ 2 i ia.' j | , JU\2 i tX/ 2 2 / 



(se 



H - - 



4) 



(tjC « OC i 



9 OC2 f 0C{\ , 0C\2 i <^?22 t (fà OC} 



(se 



)ì — 



5) 





1 OC2 1 $\\ 1 ^C\% 1 «^22 ; OC \ 1 (l^ 0C%) 



(se 



n = 



0) 



ecc. 



ove gli indici 1,2 indicano derivazioni rispetto u x , u 2 ■ 



Tutti questi determinanti restano moltiplicati per Q n+2 , se si moltipli- 

 cano le coordinate omogenee per q ; e, indicando con J lo jacobiano di un 

 cambiamento di variabili, restano moltiplicati per una potenza di J (negli 

 esempì precedenti per J , J 2 . ' 3 , J 4 , J 5 ) quando si effettui tale cambiamento. 



Si potrebbe, come nella Meni. cit. pel caso « . = 3, moltiplicare le pre- 

 cedenti espressioni per un fattore tale che esse abbiano significato intrin- 

 seco, cioè restino inalterate per un cambiamento di variabili coordinate u. 

 Esse [tranne nel caso « = 4, in cui all'espressione precedente si sostituirà 

 la seguente, che ha già significato intrinseco: 



(x . X\ , x% , cix \ • dxi . d^x*) 



^/ {x , X\ , X2 • X\i , X\n 1 X22) 



uguagliate a zero, definiscono un sistema di curve invariante per col Idea- 

 zioni, di cui pare agevole dare una definizione geometrica. Ciascuna di esse 

 si può assumere come una prima forma differenziale (che negli esempì pre- 

 cedenti è del primo ordine) corrispondente a \ 7 r . Bisognerebbe trovarne altre 

 in modo che, come nel caso delle ipersuperficie, ne restassero individuati 

 i coefficienti di un sistema di equazioni alle derivate parziali, a cui soddis- 

 facessero tutte e sole le combinazioni lineari delle coordinate di un punto 

 di V r . 



