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la questo breve lavoro esamino il problema per p qualunque, facendo 

 delle osservazioni, d'indole generale, cbe credo utili, specialmente per p 

 dispari o addirittura numero primo. Infine studio accuratamente l'ipotesi 

 p — 5 cbe conduce a quattro varietà abeliane, tre delle quali sono pure, 

 nuove, e costituiscono i primi esempì di varietà abeliane, a 5 dimensioni, 

 pure e con l'indice di moltiplicabilità 9, cioè col massimo indice di molti- 

 plicabilità compatibile con l'ipotesi che la varietà sia pura e a 5 dimensioni. 



1. Sia r una varietà abeliana ( 5 ) a p ^> 1 dimensioni; essa ammetta, 

 in se stessa, una trasformazione birazionale periodica T rappresentata ana- 

 liticamente da una sostituzione lineare i cui moltiplicatori siano p radici 

 dell'unità distinte e tutte appartenenti ad uno stesso esponente r. 



È noto ( 6 ) che l'equazione caratteristica D((>) = della sostituzione rie- 

 manniaua S della matrice di Riemann cui appartiene r, sostituzione legata 

 a T, si scinde in due determinate equazioni a(c) = e A((>) = 0, aventi 

 per radici rispettivamente i moltiplicatori sopradetti e i numeri complessi 

 a questi coniugati. Or siccome questi moltiplicatori appartengono, per ipo- 

 tesi, all'esponente r, anche le radici di A(e) = apparterranno a questo 

 stesso esponente; ne segue che le radici di D(q) — sono ( 7 ) tutte le radici 

 primitive r sime dell'unità, onde ( 8 ) si ha 



my>(r) — 2p . 



Ma i p moltiplicatori sono, per ipotesi, tutti distinti, quindi è <p(r)^p, 

 e di conseguenza o y>(r) = p ovvero <p(r) = 2p. 



Supporremo sempre che sia <j>(r) = 2p , ipotesi che non implica alcuna 

 restrizione per p dispari. 



2. Sia dunque r un numero tale che si abbia <p{r) — 2p. L'equazione 

 caratteristica D(g) = è quindi l'equazione, di grado 2p, alle radici pri- 

 mitive r sime dell'unità; ma questa equazione è priva di radici multiple, 

 quindi due qualunque moltiplicatori di T non sono ( 9 ) numeri complessi 

 coniugati. 



( 5 ) Seguendo il prof. G. Scorza, chiamerò varietà abeliana a p dimensioni una va- 

 rietà (necessariamente algebrica) che ammette una rappresentazione parametrica mediante 

 funzioni abeliane a p variabili indipendenti u 1 ,u 2 % , appartenenti a una stessa ta- 

 bella di periodi primitivi w = \atj tl , ft>; >2 — > m j,ìv\ (j — 1 > 2 p), la rappresentazione 



essendo tale che ad ogni punto della varietà corrisponda, a meno di periodi, un solo 

 gruppo di valori per le variabili Uj . Per p = 1 la varietà sarà una curva ellittica; per 

 p = 2 la varietà verrà chiamata superficie i per ellittica. 



( 6 ) Scorza, loc. cit. in parte I, n. 22. 



( 7 ) Scorza, loc. cit. in (}), parte I, n. 25. 



( 8 ) Scorza, loc. cit. in ( 7 ). 



( 9 ) Scorza, loc. cit. in ( 6 ). 



