Matematica. — Sopra una equazione funzionale. Nota I di 

 Pia Nalli, presentata dal Corrisp. Bagnerà 



1. In alcune Memorie sulle equazioni alle derivate parziali è occorso 

 al Goursat di risolvere l'equazione funzionale 



(1) u(x) = u(ax) -f- f{x) 



nella funzione incognita u, « essendo una costante ( 2 ). 



È essenziale l'ipotesi che sia \a\ diverso da ] . ed allora, restando nel 

 campo delle funzioni analitiche, se f(x) è regolare nel punto x — 0, affinchè 

 la (1) ammetta soluzione finita, è necessario e sufficiente che sia f(0) = 0, 

 e precisamente se 



co 



f{x) = y a n x n 

 si ha una soluzione prendendo 



u(x) = S_ a " w x nJ rC 



n=l i a 



dove c è una costante arbitraria. 



Questa anzi è la più generale soluzione analitica regolare nel punto 

 x = 0, come si vede eguagliando nei due membri di (1) i coefficienti delle 

 stesse potenze di x. 



2. L'idea fondamentale che ci ha guidati nelle ricerche che iniziamo 

 con la presente Nota è di introdurre un parametro X nella (1) ponendo 



(2) u{x) = Xu{ax) + f(x). 

 Se 



co 



f(x) = \ a n x n 



n=o 



si avrà una soluzione prendendo 



co 



(3) u{x)= y_^^- x n 



t 1 ) Pervenuta all'Accademia il 3 luglio 1920. 



( 2 j Goarsat, Sur un problème rélatif à la théorie des équations aux dérìvées partielles 

 du second ordre: l er Mémoire ^Avinales de la Faculté des Sciences de l'Université de Tou- 

 L'use, II e sene, t. V 1 1903), pp. 405-436]; 2" Mémoire [Ibid., II U sèrie, t. VI (1904), 

 pp. 117-144]. 



