e questa è una funzione analitica di X che ammette come poli i punti 



(4) 1.^.3. 



a or 



ed è meromorfa se [a|<l. 



Per X — ~, se vogliamo che la soluzione resti analitica e regolare nel 

 a" ° 



punto x = 0, evidentemente occorre e basta che sia a n = 0. 



Quando X è diverso dai valori (4), la (2) ammette soluzione unica 



(sempre, s'intende, analitica e regolare in x = 0) ; se X = — ed è = 0, 



la (2) ammette infinite soluzioni che si ottengono aggiungendo alla (3) cx n 

 con c costante arbitraria; e si osservi che la funzione cx n soddisfa all'equa- 

 zione omogenea 



u{x) = ^ u(ax) . 



Ciò ci autorizza a chiamare x n una soluzione fondamentale dell'equa- 

 zione (2) ed — la corrispondente costante caratteristica. 



E così alla serie di Taylor possiamo dare il seguente significato : una 

 funzione h(x) , regolare nel punto x = , si sviluppa in serie di funzioni 

 fondamentali dell'equazione funzionale (2), e la funzione h(ax) si sviluppa 

 in modo analogo, dividendo ogni termine per la corrispondente costante ca- 

 ratteristica. 



3. Più generalmente, consideriamo l'equazione 

 u{x) = Xg(x) u(ax) -f- f{x) , 



g(x) ed f(x) essendo funzioni analitiche regolari nel punto x = 0, ma qui 

 supponiamo \a\ minore di 1. 



In seguito stabiliremo l'interessante risultato: se g(0) = 0, la soluzione 

 di questa equazione è unica ed è funzione intera di X; ed invece se 

 0(0) =4=0, la soluzione è funzione meromorfa di X che ammette come 

 poli semplici i punti 



1 1 1 



g{0)' agfQ) ' a*g(Q) 



In quest'ultimo caso, quando X non è un polo, la soluzione è unica ; se 

 X è un polo, l'equazione omogenea 



u(x) = Xg(x) u(ax) 

 ammette una soluzione unica a meno di una costante moltiplicativa, e pre- 



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