risamente, in corrispondenza al polo l = w ^q ) ' questa soluzione è del tipo 

 u n (x) = c x" u (x) , dove u (x) denota la soluzione corrispondente al parti- 

 colare polo — , indipendente da a . 



Per esempio, so si fa g(x) = x -f- 1 , eguagliando i coefficienti delle 

 stesse potenze di x nei due membri dell'equazione omogenea 



u (x) = (x -j- 1) u (ax) 

 che si ha in corrispondenza al polo -^-^ = 1 , si trova 



n(n-l) 



a 2 



^ó(l-«)(l — «*)... (l—<) 



a meno di una costante moltiplicativa. 



Ritornando al caso generale, la funzione u Q (x) non si annulla per x = 0, 

 perchè dalla relazione alla quale soddisfa u (x) , e cioè 



g{0) u {x) = g(x) u (ax) , 



risulta che - se fosse ^ (<») = 0, tutte le derivate di u (x) si annullerebbero 

 per x = . 



Se la g(x) è regolare in un cerchio con centro nell'origine, la u {x) è 

 regolare nello stesso cerchio e si annulla solo negli zeri di g(x) e nei punti 



che si ottengono da questi zeri moltiplicandoli per — 



a a 



Una funzione h{x) regolare in un cerchio con centro nell'origine si può 

 sviluppare nella serie uniformemente convergente 



x> 



(5) h{x) = y_ h„ u„{x) , 



purché in questo cerchio la g(x) non si annulli. Si intende che in ciascuna u n 

 si è fissata la costante moltiplicativa. 



In base all'equazione funzionale cui soddisfa u n , si deduce dalla (5) 



CO 



(6) g{x) ìi{ax) = g(0) Y h n a n u n (x) . 



Questa equazione mostra che, quando una funzione h(x) è rappresentata 

 sotto la forma (5), l'operazione funzionale g(x) h{ax) eseguita sopra la fun- 

 zione h(x), equivale a dividere i vari termini dello sviluppo per le corri- 

 spondenti costanti caratteristiche. Nel caso di g(x) = 1 abbiamo visto che 

 lo sviluppo (5) diviene lo sviluppo in serie di potenze di x . 



Rendiconti. 1920. V»), XXIX, 2° Som. 



