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Matematica. — Sulle congruenze di sfere di Ribaucour che 

 ammettono una deformazione finita. Nota del prof. L. P. Eisenhart 

 (a Princeton), presentata dal Socio L. Bianchi ('). 



Quando un sistema di sfere dipende da due parametri, il suo inviluppo 

 consta, in generale, di due falde: S ed Sj , e i centri delle sfere giacciono 

 sopra una superfìcie S . Fra le due superficie S , S, è stabilita una corri- 

 spondenza, facendo corrispondere i due punti di contatto di una medesima 

 sfera (coll'inviluppo). Se le linee di curvatura si corrispondono sopra S , Si , 

 si dirà che queste due superficie sono nella relazione di una trasformazione 

 di Ribaucour, o, più brevemente, in relazione R. In questo caso le curve 

 di S che corrispondono alle linee di curvatura di S , S 1 , formano un sistema 

 coniugato o reticolo, e la relativa equazione di Laplace ammette come so- 

 luzioni R e x\ -f- y\ + s\ — R 2 , dove x , y > s indicano le coordinate del 

 punto mobile su S„ , ed R denota il raggio della sfera. Inversamente, se 

 l'equazione di Laplace relativa ad un reticolo N (a cui soddisfano x , y„ , £„) 

 ammette la soluzione R ed insieme l'altra x\ -f- y\ -f- #o — R% l e sfere coi 

 centri sopra S e di raggio R formano una congruenza di Ribaucour. Nelle 

 notazioni di Guichard, il reticolo N è 2 , ed R è la funzione comple- 

 mentare. 



L'autore della presente Nota ha considerato il problema ( 2 ) di trovare 

 le trasformazioni di Ribaucour tali che S ammetta una superficie applica- 

 bile S in guisa che il sistema coniugato permanente su S , S sia un reti- 

 colo 2 , per ambedue, la funzione complementare R rimanendo la stessa 

 nei due casi. Si è trovato che, in questo caso, S e S, hanno a comune la 

 immagine sferica con due superficie isoterme S' e SI, nella relazione di una 

 trasformazione D m di Darboux; e, viceversa, ogni trasformazione D m di una 

 superficie isoterma S' porta ad una tale trasformazione di Ribaucour di una 

 superficie S, avente a comune con S' l'immagine sferica delle linee di cur- 

 vatura. Questo risultato è stato ottenuto anche da Calapso ( 3 ). Mi propongo 

 nella presente Nota di stabilire delle trasformazioni di reticoli applicabili 

 2 , in reticoli della stessa specie. 



(*) Pervenuta all'Accademia il 15 luglio 1920. 

 t 2 ) Transactions of Amer. Matti. Soc, voi. 17 (1916), pp. 437-458. 

 ( 3 ) Annali di matematica, serie 3 a , voi. 26 (1917), pp. 151-190. Ved. anche Bianchi, 

 Memorie della R Àccad. dei Lincei, 1918, § 53 (serie 5 a , voi. Xj. 



