Allora il potenziale V nel problema generale è dato da 

 (1) V = 5Pi -fgp 2 , 



come è facile verificare. 



Si osservi che (fi , <jp 2 devono essere funzioni armoniche in tutto lo 

 spazio, simmetriche rispetto all'asse s ed annullarsi insieme colle derivate 

 prime e seconde all' oo : inoltre le loro derivate normali, secondo s , devono 

 presentare discontinuità solo attraverso i piatti del condensatore. 



Posto r = \l x % -\- y 2 , la funzione 



J-» 00 

 e^*- hu I (rs) tp{s) ds , 

 



dove I (a:) è la funzione cilindrica di Bessel di prima specie e di ordine 

 zero e dove si deve prendere il segno :+: secondochè z%h, soddisfa alle se- 

 guenti condizioni ( l ): è simmetrica rispetto all'asse z, è armonica in tutto 

 lo spazio e si annulla all' oo insieme colle sue derivate; inoltre la sua de- 

 rivata rispetto a z presenta, attraverso il piano z — k, una discontinuità 

 che, a meno di un fattore costante, è data da 



l (rs) sxp(s) ds . 

 Cosicché, se la ip(s) è sottoposta alla condizione 



l (rs) sxp(s) ds = Q per r > a , 







la discontinuità nella derivata normale si ha soltanto attraverso il disco di 

 raggio a col centro in r = , z = h. Del tipo (2) saranno appunto lt nostre 

 funzioni incognite . <p 2 . 



2. Determinazione di (p x , g> 2 mediante due sistemi di equazioni 

 integrali. — Poniamo 



(4) 9l ^JJLA'- O s _ e A* + i) s ^ i ( rs ) tfj 



(s) ds 



dove si dovranno opportunamente scegliere i segni :+: in corrispondenza alle 

 tre regioni in cui i piani z = -~- , z = — dividono lo spazio: e preci- 

 samente secondochè z < — il primo termine nella parentesi avrà segno z+z : 



Li 



( 1 ) Beltrami. Sulla teoria delle funzioni potenziali simmetriche, Mem. Accad. Bologna, 

 serie IV, tomo II, 1881. 



