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l'equazione ininiroa. Questa, giacché Sì è generale, è ( 2S ) di secondo grado; 

 possiamo dunque affermare che £ e £' sono radici di un'equazione quadra- 

 tica a coefficienti interi. Ne risulta che le coordinate non omogenee di c 

 sono numeri della forma g -\- lì con g ed l razionali. Ma siccome gli ele- 

 menti di una stessa orizzontale della matrice A) sono le coordinate omo- 

 genee di un punto di r, così dividendo per il determinante costituito dalle 

 prime cinque verticali, quello che si ottiene sostituendo, in questo, agli ele- 

 menti della quinta verticale quelli della sesta, si otterrà una coordinata non 

 omogenea di r; ma il quoto ora detto è ( 26 ) la somma degli elementi della 

 seconda verticale, quindi indicando con s e t numeri razionali possiamo 

 scrivere 



t* + 1 « 2 -f- ^ + /* 4 + ^ = s + tè , 



e di conseguenza 



^10 -p^-fi. _j_ p* _f_ = s _p t g . 



ne seguirebbe che il prodotto dei primi membri dovrebbe essere un numero 

 razionale, perchè tale è il prodotto dei secondi membri, cioè dovrebbe essere 



4^ 10 + S^ 9 + 2f.i 8 -f fi 7 + (jl* -f 2fj, 3 + 3,u 2 + 4fi + 5 = R , 

 indicando con R un numero razionale; e, infine, tenendo conto della 



(i) fi™ + /»» + (i* + ,« 7 + ,«« + ^ + p + ^ + ^ + fi + ì = o , 



dovrebbe essere 



fi 9 + 2^ 8 + 3,u 7 + 4/.t tì + 4^ 5 -fi 3/* 4 + 2^ 3 + ,u 2 (R — 1) = , 



ciò che è assurdo, perchè questa eguaglianza, qualora si consideri fi come 

 incognita, non è un'identità, mentre d'altra parte la (1) è un'equazione ir- 

 riducibile nel corpo dei numeri razionali. 



Possiamo dunque affermare che la matrice A) è pura; e siccome col 

 medesimo procedimento si perviene allo stesso risultato anche per le ma- 

 trici B) e C), così possiamo concludere che 



le Matrici riemanniane A) , B) , C) sono pure ( 27 ). 



( 25 ) Loc. cit. in ( 12 ). 



( 26 ) Cfr. p. us. E. Pascal, I determinanti [Hoepli, Milano, 1897], pp. 171 o 172. 



( 27 ) Mediante considerazioni analoghe a quelle tenute in questo numero, si può di- 

 mostrare che sono pure le due seguenti matrici riemanniane: 



1 co co 2 CO 3 CO* co 5 

 1 co 2 co* co 1 '' co 8 cu , 

 1 w 4 co s co 3 co 7 co 2 



1 a a 1 «' «* a J 



1 a 2 a* « 6 a a 3 e 



1 ce 3 « 6 « 2 a 5 « 



ove a e co sono radici primitive dell'unità rispettivamente settima e nona; risultato a. 

 cu pervenne, per via completamente diversa, la Raciti nel loc. cit. in ('), n. 6. 



