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Matematica. — Sopra una equazione funzionale. Nota II di 

 Pia Nalli, presentata dal Oorrisp. Bagnerà ('). 



4. Tutto quanto abbiamo esposto prelude alle proprietà delle soluzioni u(x) 

 dell'equazione integrale 



(7) u(x) = X^j(cc)u(ax)-{- £"n(oj,*) u(s) ds ~^J**F{x ,s) u{s)ds~^^ f (x), 



limitandoci per ora a supporre |a|<^l. 

 Per V(x .s) = si ha l'equazione 



u(x) = A ^g(x) u{ax) -f- N(# , s) u{s) ds~^ -j- f{x) 



che richiama quella studiata dal Picard ( 2 ). e cioè 



reo 



u(x) — g(x) u(ax) -J- A I N(x , s) u(s) ds -4- f(x) 



e ne differisce soltanto per la posizione del parametro A. 



Ma a questo proposito (senza che per il momento io abbia potuto ap- 

 profondire l'essenza del fatto) ho potuto constatare nel presente ordine di 

 ricerche ed in quelle da me fatte sulle equazioni integrali del tipo 



(8) g>{x ) = l^k(x)g>(x)+j*K(x,s)<p(s)ds~J+f(x), 



che quando si tratta d'introdurre un parametro A in una equazione funzionale 



<P = SO] + T[g>] -\-f, 



che dipende da due operazioni lineari S e T , conviene di mettere il para- 

 metro l a fattore in entrambe le operazioni S e T invece che a fattore di 

 una sola di esse, perchè allora riesce più semplice lo studio della soluzione 

 come funzione di A. 



È così che nei miei lavori precedenti ho potuto dire di più sopra la 

 soluzione dell'equazione (8) di quanto si è potuto dire sull'equazione di 

 terza specie di Hilbert, che è del tipo 



k(x) (f(x) = A f K(x , s) g>(s) ds + f{x) . 



J a 



( x ) Pervenuta all'Accademia il 3 luglio 1920. 



( 2 ) Picard, Sur une équation fonctionnelle se prèsentant dans la théorie de certainet 

 équations aux dérivées partidles QComptes rendus hebdoraadaires des séances de l'Aca- 

 démie des Sciences (Paris), t. CXLIV (l er semestre 1907), pp. 1009-1012]. 



