Nello studio della sua equazione il Picard suppone g(0) — 1 . il che 

 porta, per la funzione data f{x), la limitazione /'(0) = 0; e, così facendo, 

 lascia fuori il caso normale dell'unicità della soluzione in corrispondenza ad 

 un'arbitraria f(x). Difatti il Picard, per fissare una soluzione, dà ad arbitrio 

 il valore della u per x =.() e dimostra che allora la soluzione è funzione 

 intera del parametro X. 



Osserviamo poi che la forma ( 7), da noi adottata, è tale che quando si 

 fissa l e si deriva rispetto ad x , si ottiene una equazione che può essere 

 ricondotta allo stesso tipo (7), il che non avviene per la forma adottata 

 dal Picard. 



Aggiungiamo ancora che la (7), con X=\, nell'ipotesi che sia \g{x)\<C.l, 

 è compresa in un tipo più generale di equazioni funzionali studiato dal 

 Picone ('). 



5. Mostrerò in altra Nota che, almeno sotto certe condizioni di deriva- 

 bilità delle funzioni che vi figurano, l'equazione (7) ha una soluzione unica 

 che è funzione intera di X se g(0) = ; e se è g(0) =j= 0, la soluzione è 

 funzione meromorfa di X che ammette come poli semplici i punti 



1 



a n 0(0) 



(« = 0,1,2,...). 



Uno o più di questi poli possono mancare se i valori della f(x) e delle 

 sue derivate, calcolati per x = , soddisfano ad alcune relazioni lineari 

 omogenee che in appresso scriveremo. 



In corrispondenza al valore X n c'è una funzione u n {x) , determinata 

 a meno di una costante moltiplicativa, che soddisfa all'equazione omogenea 



u„(od) = xJ^g(x)u n (acB) + N(a; , s) u„(s) ds -j- f P( x , s) u»(s) rfsj . 



Si hanno così le funzioni fondamentali u n {x) dell'equazione (7) e le 

 corrispondenti costanti caratteristiche X„. 



Qui si pone il problema della rappresentazione di una assegnata fun- 

 zione in serie di funzioni fondamentali, serie che sono più da assimilarsi a 

 generalizzazioni di serie di potenze anziché a generalizzazioni di serie di 

 Pourier, come sarebbero gli sviluppi in serie di funzioni fondamentali di 

 un'equazione di Predholm. Ed anche qui se h(x) si rappresenta in serie di 

 funzioni fondamentali, l'operazione funzionale 



f oc nax 



g{x) h{ax) + ) N(z , s) h{s) ds r ) P(x , s) h(s) ds 



J •> 



(') Picone, Sopra un problema dei valori al contorno nelle equazioni iperboliche 

 alle derivate parziali del second'ordint e sopra una classe di equazioni integrali che 

 a quello si riconnettono [Kendiconti del Circolo matematico di Palermo, t. XXXI (1° se- 

 mestre 1911), pp. 133-169]. 



