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eseguita su h{x) equivale a dividere i vad termini della serie per le cor- 

 rispondenti costanti caratteristiche. 



Per esempio, se si fa g{x) = 1 , N(x,s) = l , P(as ,s) = , si ha 

 l'equazione 



(9) u{x) = l r u{ax) 4- Cu(s) ds~\ -f /(ce). 



In questo caso, come si vedrà in seguito, la funzione fondamentale u Q (x), 

 corrispondente al valore caratteristico l — l , è data da 



oo -*» 



= y 



— a)(l-« 2 )...(l— a") " 



Si trova poi facilmente l'espressione di u n (x) tenendo conto che questa 

 (come del resto nel caso generale) ha per x ■== uno zero di ordine n e 

 tenendo conto della relazione ricorrente 



l' n (x) = U n -i (f-^-jj 



6. Dalla (9), prendendo per /'(z) una costante, si ottiene, derivando, 

 (10) u'„{x) = l[au'{ccx) -\- u(x)~\ 



che si può considerare come una equazione differenziale lineare omogenea 

 del prim'ordine generalizzata. 



Per ogni valore di l diverso da — 1 ) questa equazione ammette 



una sola soluzione che prende un valore fissato per x = 0. In particolare, 

 è nulla identicamente la soluzione che si annulla per x = 0. 



Invece l'equazione (10), per il valore eccezionale },== — , ammette 



una soluzione non identicamente nulla, ma che si annulla per x = 0. Anche 

 quando X non è un valore eccezionale, tutte le soluzioni della (10) si otten- 

 gono moltiplicando una di esse per una costante arbitraria. 



Risultati di indole più generale otterremo dallo studio delle soluzioni 

 u{x) di equazioni del tipo 



4>[_x , u(x) , u(ax) , u\x\ , u'(ax) , ... , u (n \x) , u n {ax)~\ = . 



Se il primo membro contiene linearmente la u e le sue derivate cal- 

 colate in x ed in ax, faremo vedere che la risoluzione di una tale equa- 

 zione si riconduce alla risoluzione di una equazione del tipo (7). 



