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Matematica. — Superfìcie del 4° ordine con gruppi infiniti 

 discontinui di trasformazioni birazionali. Nota III del Corrispon- 

 dente Gino Fano 0). 



1. La presente Nota è dedicata alla superficie del 4° ordine più gene- 

 rale, F 4 , contenente un punto doppio e una retta r passante per questo 

 punto (superficie dipendente da 17 moduli). Anche questa superficie, come 

 quella oggetto delle due Note precedenti ( 2 ), non ammette trasformazioni 

 proiettive. Invero, una trasformazione così fatta non potrebbe lasciare fissi 

 tutti i punti della retta r, perchè sarebbero allora invarianti anche le sin- 

 gole cubiche y segate sopra F 4 dai piani per r; mentre invece una cubica 

 piana non ammette trasformazioni proiettive aventi come punti uniti tutti 

 i punti di una retta generica del suo piano (quale è appunto la r per le y). 

 Sulla /• (certo unita) verrebbe dunque subordinata una proiettività ciclica, 

 per la quale sarebbe un punto unito; e poiché nel fascio |y| vi sono due 

 cubiche tangenti a r fuori di , queste due dovrebbero venire scambiate 

 fra loro, e così i loro punti di contatto con r. Il quadrato di questa (sup- 

 posta) omografia determinerebbe dunque l'identità sopra r, e perciò anche 

 sopra F 4 ; l'omografia stessa sarebbe dunque involutoria, il che non è possi- 

 bile, in quanto F 4 dovrebbe allora dipendere da soli 11 moduli al più ( 3 ). 



Il gruppo delle trasformazioni birazionali di F 4 si rispecchierà pertanto 

 in un gruppo oloedricamente isomorfo di sostituzioni lineari della forma fon- 

 damentale della superficie. 



La superficie F 4 . essendo condotta nel modo più generale per il punto 0, 

 che si suppone doppio per essa, e per la retta ri, conterrà soltanto curve 

 composte mediante le sezioni piane, il punto doppio (considerato come curva d 

 razionale, di ordine zero, e grado — 2), e la retta r. Introducendo nella base, 

 in luogo delle sezioni piane C, le cubiche y = G — d — r , segate dai piani 

 per r , il determinante della base (d , r , y) sarà 



D = 



— 2 11 

 1—22 

 1 2 



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l 1 ) Pervenuta all'Accademia il 19 luglio 1920. 



( 2 ) Ved. questi Rendiconti, 1° sem. 1920 (voi. 29), pp. 408 e 485. A queste Note 

 rinvio per la citazione precisa delle Memorie qui richiamate in modo abbreviato. 



( 3 ) Severi, Complementi ecc., n. 12, b). 



Rendiconti. 1920. Voi. XXIX, 2° sem. 15 



