— 114 — 



La detta base è dunque intermediaria, e perciò minima, non arendo 

 il numero 14 nessun divisore > 1 e quadrato perfetto. Ogni curva di P 4 

 potrà esprimersi mediante una combinazione xd -f- yr -j- zy , per valori in- 

 teri (positivi, negativi, o nulli) di x ,y ,z. Notiamo in particolare che le 

 curve y + r = C — d sono le quartiche di genere 2 segate dai piani pas- 

 santi per il punto doppio. 



La forma fondamentale della superficie è 



(1) /= — 2a: 2 — 2y 2 + Zxy + Zxs + Ayz. 



2. Sulla superficie F 4 si possono facilmente assegnare due trasforma- 

 zioni birazionali: 



a) L'involuzione I risultante dalla proiezione doppia di F 4 dal punto 

 doppio 0. Questa trasformazione muta in sè stessa ogni cubica y, nonché 

 la retta r; e fa corrispondere all'intorno (d) del punto doppio la curva 

 intersezione di P 4 col cono quadrico ad essa tangente in medesimo, al- 

 l' in fuori della r (che di tale intersezione è parte). Poiché quest'intersezione, 

 compresa anche la r, è espressa da 2(C — d) — d=2(r-\-y) — d, l'invo- 

 luzione I opererà sulle curve di P 4 e, conseguentemente, sulle se , y , s nel 

 modo seguente: 



| d' =.— d + r -\- 2y ( a? = — x 



(2) j r' = r (2'H 1 ) y' = x + y 



b) Una trasformazione non ciclica S sopra le singole cubiche y, co- 

 struita in modo analogo alle f", e r 2 delle due Note precedenti. Essendo 

 razionalmente noti, sopra ogni y, il punto (doppio per P 4 ) e la coppia 

 di punti A , B intersezioni ulteriori con r , sarà ivi definita la trasformazione : 



P' = P + 2 • — (A + B) . 



Applicando tale trasformazione, sopra ogni y, al punto ivi segato 

 dall'intorno d del punto doppio, e ai 2 punti segati da r, si vede che le 

 curve d" e /', trasformate rispett. di d e di r, potranno differire rispett. da 

 d -j- 2d — r = Sd — r e da r. -f- id — 2r = Ad — r solo per multipli di y ; 

 sarà cioè : 



d" = Sd — r + ky t' = 4d — r + ty 



dove i coefficienti incogniti k , i potranno determinarsi in base alla proprietà 

 che tanto d" quanto r" devono essere (come d ed r) di grado virtuale — 2. 

 Si ricava k =12, ? = 10 . La S opererà pertanto sulle curve di P 4 e 



(!) Interpretando le % ,y ,z come coordinate proiettive omogenee nel piano, la (2') 

 è l'omologia armonica di asse x = e centro ( — 2,1,2). 



