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rispett. sulle x , y , i nel modo seguente : 



^ d" = M — r + 1 2 y l od" = Sx -f Ay 



(3) j r"=4d-r+10y (3') — « -y 



' y" = y f *' = 12x + lOv + s 



Dimostreremo che sopra F 4 non esistono altre trasformazioni birazionali 

 all'infuori di quelle composte mediante I ed S (') (*). 



3. Vediamo ora se sulla superficie F 4 esistano altre curve ellittiche, 

 effettive e irriducibili, all'infuori delle cubiche y. A tal uopo, occorre anzi- 

 tutto trovare le soluzioni intere dell'equazione f—Q, ossia: 



x% + ut — x y — x2 — 2^5 = . 



i 1 ) La trasformazione determinata da S sopra ogni singola y è il prodotto della I 

 per l'altra involuzione che ivi risulta dalla proiezione doppia fatta dal punto tangenziale 

 di (anch'esso razionalmente noto). Perciò, anche sopra F 4 , la S è il prodotto di I per 

 un'altra involuzione ; e il gruppo complessivo di F 4 si potrà generare anche con queste 

 due involuzioni. 



( 2 ) Si può riconoscere facilmente che invece Sulla F 4 più generale contenente un 

 (solo) punto doppio (non contenente perciò nessuna curva effettiva, all'infuori delle in- 

 tersezioni complete con altre superficie) non vi sono altre trasformazioni birazionali al- 

 l'infuori dell'involuzione che risulta dalla proiezione della superficie stessa dal punto 

 doppio. Sopra tale superficie, una base minima è costituita dal punto doppio d e dalle 

 sezioni piane d" condotte per esso (di genere 2); il determinante di questa base vale in- 

 fatti — 8, e ammette perciò come unico divisore quadrato perfetto il 4; mentre il de- 

 terminante di altra base, essendo anche del tipo a n « 22 — a 12 2 con a n , a. M pari, non po- 

 trebbe in nessun caso assumere il valore — 8:4 = — 2. Dico che, sopra questa F 4 , la 

 rete | d\ è la sola rete di curve effettive, irriducibili, di genere 2. Invero, la determina- 

 zione di queste reti, di grado virtuale anche 2, e del tipo ed -f- yd , dipende dalla riso- 

 luzione in numeri interi dell'equazione x 2 + 2xy — y 2 =l; la quale, mediante la sosti- 

 tuzione X — t — U,y = u, si trasforma nell'equazione di Fermat-Pell: 



<1) t % — 2m 2 = 1. 



Le reti di genere 2 sono date perciò dalle combinazioni (f — • u) (f + ud , colla con- 

 dizione (1); avvertendo inoltre che si avranno curve effettive (ossia di ordine > 0) solo 

 per t^>u, e perciò (essendo altresì t 2 ^>2u 2 ) per valori positivi di t. Essendo inoltre: 



(t — a) tf -f ud = (t — u) (<f + d) -f (2w — t) d , 



si vede che, per u positivo (nel qual caso u <C t < 2u), l'accennata combinazione risulta 

 dalla somma di un multiplo del sistema delle sezioni piane \<f-\-d\, di genere 3 e di- 

 mensione 3, e del punto doppio, contato 2u — t volte; è dunque un sistema riducibile 

 (poiché' detto punto doppio, contato 2u— t volte, è parte fissa del sistema). Per u nega- 

 tivo, si hanno i sistemi trasformati dei precedenti mediante la proiezione dal punto doppi" 

 di F 4 (la quale corrisponde alla sostituzione t ' = t , w' = — u); anch'essi dunque ridu- 

 cibili. Rimane perciò la sola soluzione u = , £ = 1, che conduce alla rete |<f|. Infine, è 

 pure ovvio che la forma quadratica t 2 — 2u 2 (equivalente atla x 2 -\-2xy — y 2 ) non am- 

 mette altre sostituzioni lineari che mutino in sè la soluzione f = l , u — 0, cioè la rete |<fi, 

 all'infuori della sostituzione t' = t,u' = — u, alla quale corrisponde sopra F 4 la sola 

 proiezione dal punto doppio. 



