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Poiché 2 vi compare soltanto a 1° grado, si ricava z 

 e le soluzioni intere sono perciò date dalle forinole : 



x 2 -f~ y' z — xy t 



(4) x = kp(p -\- 2q) y = kq( p -f- 2q) z = /c(p 2 — pq -j- q 2 ) 



per valori interi ;ioq entrambi nulli di p e q (uno dei quali potrà supporsi 

 non negativo), mentre k potrà anche assumere convenienti valori fratti. 



Introducendo come nuovo parametro, in luogo di q, il valore q =p-\-2q, 

 che è pure numero intero ogni qualvolta siano tali p e q, si ricavano per 

 x , y , z le nuove espressioni (nelle quali sopprimiamo l'indice di q , scri- 

 vendo q in luogo di i/o): 



Sopra questi ultimi parametri, l'involuzione l determina la sostitu- 

 zione involutoria p'=p ,q' — — q, e la S determina la sostituzione pa- 

 rabolica p" = p -\- 2q , q" = q . 



Per le soluzioni (4) o (5) che conducono a curve ellittiche xd -j- yr -f- zy 

 effettive e irriducìbili, dovranno inoltre verificarsi le condizioni seguenti : 

 1°. L'ordine y-\-3z di tale curva deve essere >0. E poiché dalle (4) 

 si ricava y-\-3z = k(Sp 2 —2pq-\-òq 3 ), dove la forma entro parentesi è 

 definita e positiva, sarà altresì k > 0. 



2°. Essendo k^>0. dall'ultima delle (4), dove p* — pq -j- q* è anche 

 forma definita positiva, segue che sarà pure z > . 



3°. Disponendo ad arbitrio del segno di uno dei parametri p e q, 

 possiamo supporre, nelle (5), p >. 0. E possiamo supporre ivi altresì q ^> 0, 

 poiché per y = si ha soltanto il fascio \y\ (prescindendo dai suoi multipli, 

 che sono riducibili); e, se fosse q<iO, potremmo riferirci alle curve tras- 

 formate di quelle in esame, mediante la I. 



Essendo nelle (5) k^> ,p >0 , q > , sarà altresì x _> 0. D'altra 

 parte la combinazione xd -f- yr -f- zy , per valori positivi o nulli delle 

 x ,y , z , non può mai essere un fascio di curve ellittiche, effettive e irri- 

 ducibili, distinto da \y\. Per un tal fascio (distinto sempre da \y\) dovrà 

 perciò essere negativo almeno un coefficiente ; e questo, essendo già z >■ 0, 



0, non può essere che y. Ora, y <^0 implica p^>q; e allora, appli- 

 cando al corrispondente fascio di curve ellittiche la trasformazione inversa 

 di S (colla quale si muta p in p — 2q , lasciando invariato q), eventual- 

 mente più volte, se ne ricaverebbe un altro fascio, pel quale sarebbe \p\<.q. 

 Per quest'ultimo fascio, o per il suo trasformato mediante I, sarebbero 

 dunque p e q positivi con p < q, il che va escluso. 



fC 



ol(Q—P) 



(h) 



• = i i' / ,: + <r — V/) 



