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Sulla superficie F 4 non esiste dunque nessun fascio di curve ellittiche, 

 effettive ed irriducibili, all' infuori del fascio di cubiche y. Perciò qua- 

 lunque trasformazione birazionale sopra F 4 muterà in sè stesso quest'ultimo 

 fascio (e risulterà anzi dal seguito ch'essa deve lasciare invariata ogni sin- 

 gola curva di tale fascio). 



4. Si indichi ora con T una qualsiasi trasformazione birazionale della 

 superficie F 4 . Poiché essa muta il fascio di cubiche |}'j in sè stesso, dovrà 

 trasformare l'intorno d del punto doppio in una linea xd -j- yr -j- zy unise- 

 cante le y. D altra parte, il numero dei punti d'intersezione della linea 

 xd -j- y r -f- sy colle y è x • 1 -j- y • 2 -f- s ■ — x -f- 2y\ sarà perciò 

 x -f- 2y = 1 ; e possiamo porre y — k , x = — (2k — 1). Il valore di si 

 può allora determinare eguagliando a — 2 il grado virtuale della curva in 

 parola, e si trova cosi s = k(7k — 5). Detta curva, unisecante le y, sarà 

 perciò del tipo : 



— (2k — l)d .' k r + k(lk —h)y 



e la indicheremo (in corrispondenza ai singoli valori interi di k) con ì] H . 

 Si verifica allora che, applicando alla linea »; s l'operazione S, essa si muta 

 nella ì] k _i (p. es. la ?;„ , che è lo stesso intorno d, si muta in 



d" = 3d — ?' + 12)' = /,_, ('). 



Supponiamo pertanto che l'operazione T sopra considerata trasformi 

 l'intorno d nella linea rj H , unisecante le y. Allora il prodotto T • S' ; ripor- 

 terà l'intorno d alla sua posizione iniziale; e per conseguenza (lasciando 

 esso invariati d e il fascio |y|) detto prodotto opererà sopra i sistemi di 

 curve della superficie F 4 secondo una sostituzione del tipo 



^ d*= d 



r* = ad rt r -f- by 

 { y* = y 



dove a e b sono coefficienti ancora sconosciuti, ma che si possono determi- 

 nare tenendo conto del fatto che la linea r* deve incontrare d in un punto 

 e y in due punti. Secondo che, nell'espressione di r*, si prende per r il 

 segno superiore o quello inferiore, si hanno per a e b le due equazioni: 



— 2a + 1 -f b = 1 a + 2 = 2 



( x ) La linea ha come linea satellite rispetto al fascio \y\ (cioè come luogo dei 

 tangenziali dei suoi punti, sopra le singole y) la linea »7_c 2 *-i> . Infatti la somma 

 2*?t + ?7_ ( ., 7 ._ 1) differisce da d-\-r (la quale ultima sega sulle y una terna di punti alli- 

 neati) solo per un multiplo di y. 



