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da cui a = b = ; oppure : 



— 2a — l + b = \ a — 2 = 2 



da cui a = 4 , £ = 10. Nel primo caso si ha l'identità, onde T = S - *; nel 

 secondo caso si ha l'involuzione: 



! d*= d 



r* = 4d — r + 10 y 

 i y*= y 



la quale non è altro che il prodotto I S; perciò T = IS -C * -1) . 



La superficie F 4 non ammette dunque altre trasformazioni birasio- 

 nali, alV infuori delle operazioni I ed S, e loro prodotti. Di queste, è già 

 noto che lasciano invariata ogni singola curva y. 



Si ottengono già tutte le trasformazioni anzidette, prendendo le potenze 

 (positive e negative) di S, e i loro'j prodotti (a destra oppure a sinistra) 

 per I. 



Le sostituzioni lineari della forma fondamentale f in cui si rispecchiano 

 le trasformazioni birazionali di non esauriscono però il gruppo comples- 

 sivo di f ('). 



Matematica. — Differenziali controvarianti. Nota del Corri- 

 spondente Guido Fubini ( 2 ). 



In una mia Nota, pubblicata recentemente in questi Rend., è messa in 

 luce l'importanza che avrebbe per certi studi l'introduzione dei differenziali 

 controvarianti^ quando come forma fondamentale non si assumesse più (come 

 negli studi del Ricci di calcolo assoluto) una forma differenziale quadratica 

 del primo ordine, ma una forma del primo ordine e di grado qualunque ( 3 ). 

 La generalizzazione non sembra agevole; qui farò un primo passo, definendo 

 i differenziali controvarianti del secondo ordine; e, soltanto per semplicità 

 di notazioni, assumerò a forma fondamentale una forma cubica 



F = 2b rsl du r du s dui . 



( 1 ) La forma f ammette per es. la sostituzione involutoria 



x' — — x-\-y + 2 , y' ~y , 2' = z 

 la quale, applicata ai sistemi di curve di F 4 , opererebbe su di essi nel modo seguente: 



d' = — d , r' = d + r , / = d + Y 

 trasformando perciò sistemi irriducibili in sistemi riducibili. 



( 2 ) Pervenuta all'Accademia l'8 luglio 1920. 



( 3 ) Cfr. la mia Nota, / differenziali controvarianti, negli Atti della R. Accademia 

 delle Scienze di Torino, voi. LIV (1918), pp. 5-7. 



