Donde: 



— 120 — 



ìu'pi fi ) 1 — tt ( y ) 



lUj l>u h ~ì>u h ~ÒU; ~àu l ~lu h ~ì>Uk 



1 Dwj twj 7>M /t 



D'altra parte, se F r è un sistema controvariante, si ha : 

 y. 7)M(i. r 1 — Tify 7)Mft 



come si vede, differenziando la F-, = Y — F' e ricordando che 



Supposto B r = C r = D r = E,, = F r = du r , ricordando che : 

 ^_ ^r»i d>tùj — «re e che 0rt ^ = f *« ( f « ~ ' • f s* — per s 4= i 



s r 



otterremo, sommando le forinole precedenti, che : 



- . a«, a//, 



r/ 2 -j- 5 \ r S * [ du r du s du t 

 ~t ( Y ) 



Indicato con ó 2 uy il secondo membro, ne deduciamo che J 2 m, , ó 2 u 2 , ... 

 costituiscono appunto, come si voleva, un sistema controvariante. Si noti, 



( V s t ) 



per maggior chiarezza, che i simboli > sono soltanto formalmente arisi- 



( Y ) 



loghi ai simboli di Christoffel; infatti essi (come le A rs da noi definite po- 

 nendo B r = du r ) sono espressioni omogenee di grado — 1 nei differen- 

 ziali du r : essi sono precisamente frazioni, il cui denominatore è lo Hessiano 

 della forma differenziale data. Che questo Hessiano debba comparire come 

 deuominatore, quando si vogliano estendere le forinole del calcolo assoluto, 

 si deduce facilmente a priori, quando si voglia generalizzare la teoria delle 

 linee geodetiche ('). Dai risultati di questa Nota segue il teorema: Lo studio 

 di un sistema di forme differenziali del primo o del secondo ordine (di 

 grado anche maggiore di 2) si può sempre ridurre allo studio di un sistema 

 di forme del primo ordine (Cfr. l'ultima osservazione della Nota citata 

 per le applicazioni di questo teorema). 



( x ) Cfr. Lipschitz, Untersuch. in Betrejf der gameti homog. Functionen von n Diffe- 

 rentialen [JJourn. fiir die reine u. augewandte Mathem., Band 70 (1869), pp. 71-1023 . 

 In questa Memoria è studiato un problema di variazione analogo a quello delle linee 

 geodetiche. 



