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Geometria. — Determinatone proiettiva di una congruenza W. 

 Nota di Maria Teresa Ambrosetti, presentata dal Corrispondente 

 Guido Fubini 



Il metodo dato dal sig. Fubini di determinare, dal punto di vista pro- 

 iettivo, una congruenza di rette ( 2 ), si estende alle congruenze W. Sieno 

 x , y , ecc., coordinate di retta legate dalla equazione 



Ssc* = x* + y* + 2* +P* + q* + / 2 = 0. 



Se esse sono funzioni di due parametri u , v , la retta genererà una con- 

 gruenza. 



Posto g> 2 — 2 ®rs du r du s = Sdx 2 , l'equazione delle sviluppabili si ot- 



tenà uguagliando <p 2 a zero. Supposto non nullo il discriminante <4 di <p 2 , 

 indicheremo con A rj il complemento algebrico di a rs in J, diviso per J, 

 con xì , Xij , ecc. derivate covarianti secondo g> 2 ; porremo 



D 2 x — 2 Xij dui duj , D 3 ce = 2 ^«t dw t » 



y 4 = — S(D 2 ce) 2 = SoJ ce D 3 cc = 2^sy ^ ^ 

 (r,s,«,*",/ = l*2). 



Data la (p 4 . si dimostra come loc. cit. che restano determinate le 



Se la congruenza è W , le ce , y , ecc. soddisfano a una stessa equazione 

 Acc u -f- 2Bccis -J- Ccc 22 4" cexi + #£2 + Ma; = (e analoghe in y , s , ...) . 



Moltiplicando per ce,- e sommando con le analoghe, si trova a — /S — 0, 

 cosicché, supposto M={=0i l'equazione si ridurrà al tipo 



(1) C u ic n + 2Cia #18 + Cg2#2? + # =0 ^ e ^^^6 i n ?/,....) 



dove le C rs formano un sistema controvariante. Indicheremo con c rs il si- 

 stema covariante duale, ponendo poi ip 2 = 2 du r du s . Moltiplicando (1) 

 per ce e sommando con le analoghe, si trova 



(2) = 2 G rs a rs ■ 



(') Pervenuta all'Accademia il 10 agosto 1920. 



( 2 ) Gfr. le Note di Fubini in questi Rendiconti, serie 5 a , voi. XXVII, pag. 304, e 

 voi. XXVIII, pag. 32. 



Rendiconti. 1920, Voi. XXIX, 2° Sem. 16 



