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Se una delle X , fi è uguale a zero, potremo, permutando, caso mai, u con v 

 supporre fi = e scegliere poi il parametro delle w in guisa che X — 1 

 (la forma A, t^ 8 -|- /< do 2 ha significato intrinseco e per (2) X è funzione 

 della sola u). Se A =J= , =4= 0, potremo in modo simile rendere X = fi = \. 



I caso: X — l , fi — Q. Le (2) dànno y' u — 0; prescindendo dalle 

 rigate (caso più facile), e quindi supponendo y 4= . potremo cambiare il 

 parametro delle v in guisa che y=l. La 2 a delle (1) prova potersi porre: 

 M = (p' v , — 2{ì = y>' u , essendo <p funzione delle u,v. La condizione di 

 integrabilità delle altre due equazioni nella L dà che 9 deve soddisfare alla 



(3) <pZu + 1 (<p' u ti. + 2?; 9C + gc„) = . 



cu 



Date y = l e p = — \<p' u , la non è determinata; ad essa potremo sosti- 

 tuire la %p = (p -f- W, ove W è funzione arbitraria di v; ma, poiché anche 

 la y dovrà soddisfare a (3), sarà, posto V = W : 



(4) ^(SPÌV' + 2tóV)-0 ossia { 9 T + 2^V) = . 

 La soluzione più generale della seconda delle (1) sarà: 



E la L si otterrà dalle altre (1) con integrazione, e cioè con una nuova 

 costante additiva arbitraria. Se dunque la V soddisfacente a (4) dipende 

 da h costanti arbitrarie, otterremo 00 h+l superficie tra loro applicabili. Sarà 

 h = 0, se la (4) ammette come unica soluzione V = 0; in ogni altro caso 

 è h < 2, perchè la (4) è del secondo ordine in V La ricerca delle fun- 

 zioni (p soddisfacenti a (3) per cui la (4) è risolubile con V 4=0 si riduce 

 a un facile calcolo, che la brevità dello spazio mi vieta di riprodurre. Noterò 



solo che, posto — = = V[ , la (4) si può scrivere: 

 y V 



(yjfv); = u 1 vi + v£, 

 y = (u 1 v 1 + v i -f-u i )v; , /? = - ku;v 1 v;+ o;vo 



ove Ui , Uj sono funzioni della sola u , Vi e V 2 della sola v . 



II caso : X = fi = 1 . In tal caso le (2) dànno : (3 = f' u , y = f'„ ove 

 la f è una funzione delle u , v, che è determinata (a meno di una inessen- 

 ziale costante additiva), appena siano date le La f naturalmente deve 

 soddisfare alla condizione della risolubilità delle (1). Se per questi valori 



(') Tale equazione non può ridursi a identità, perchè, se escludiamo le rigate, è 

 p =J= 0, e quindi qp'« =4= & 



