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Matematica. — Sulla varietà degli spasi tangenti a una data 

 varietà. Nota I di Alessandro Terracini, presentata dal Socio 

 C. Segre 



In varie ricerche di geometria proiettiva differenziale, insieme con una 

 varietà di k dimensioni, V ft , fu introdotta la varietà \Y formata dai suoi S A 

 tangenti ( 2 ). Così, fu considerato il problema dell'abbassamento di dimen- 

 sione che può presentare la varietà W, rispetto al valore 2k che le com- 

 pete in generale (per varietà immerse in spazi sufficientemente elevati), pro- 

 blema che fu completamente risolto per le varietà a non più di quattro 

 dimensioni ( 3 ). Una nuova questione relativa a certe altre particolarità che 

 può, per particolari V ft , presentare la varietà W, viene studiata in questo 

 lavoro. 



1. Supporremo che la varietà V s sia immersa in uno S r con r^>2k {*), 

 e che la varietà W abbia dimensione 2k (cosicché escludiamo dalle nostre 

 considerazioni quelle particolari V s a cui abbiamo or ora accennato). Allora, 

 si riconosce senza difficoltà che, per una Y k generica, la W 2S è toccata da 

 uno stesso S 2ft nei punti di ogni retta tangente alla V ft ( 5 ); gli S 2 * tangenti 

 alla W 2 fc nei singoli punti di un suo S ft generatore (vale a dire nei singoli 

 punti di uno S h tangente a V») sono dunque oo" -1 , o meno, anziché oo*; 

 anzi, in generale, sono proprio oo ft_1 . D'altra parte, quegli S 2ft tangenti nei 

 singoli punti di uno S* tangente di V J; coincidono addirittura tutti quanti 



( 1 ) Pervenuta all'Accademia il 14 luglio 1920. 



( 2 ) Per la prima volta, se non erro, con qualche diffusione, nei lavori del prof. Segre: 



a) Su una classe di superficie degli iperspazi legate colle equazioni lineari alle deri- 

 vate parziali di 2° ordine, Atti della R Acc. delle Scienze di Torino, voi. XLII (1907); 



b) Preliminari di una teoria delle varietà luoghi, di spazi, Rend. del Circolo matema- 

 tico di Palermo, tomo XXX (1910). 



( 3 ) Nelle mie Note: Alcune questioni sugli spazi tangenti e osculatori ad una va- 

 rietà, Atti della R. Acc. delle Scienze di Torino, Nota I (voi. XLIX, 1913); Nota II 

 (voi. LI, 1916); Nota III (voi. LX. 1920); ved. particolarmente la Notali. — Alcune V* 

 con varietà W di dimensione < 2k furono considerate anche dal Bompiani, Sistemi di 

 equazioni simultanee alle dérivate parziali a caratteristica, Atti della R. Acc. delle 

 Scienze di Torino, voi. XLIX (1913). 



(*) Per r<2fc La varietà W ha dimensione <2&; e per r = 2k. se la W non ha 

 dimensione <2/c, essa coincide collo spazio amhiente, cosicché il problema che stiamo , 

 per porre perde ogni interesse. 



(») Cfr. Segre, op. cit.: a), n. 1 24-26 ; • b), a. 20. 



