fra loro, quando la V ft rappresenta — — - — - equazioni di Laplace linear- 



mente indipendenti ( 1 ); e viceversa (sempre quando si escludano, come si 

 è detto, le Y h per cui la W ha dimensione <C2k). Infatti, stabilito un 

 sistema di coordinate proiettive omogenee, se x è un punto (di coordinate 

 x t , x l , ... , a? r ), funzione di k parametri essenziali % x , r , % k , che de- 

 scrive la V ft , e 



(1) y = x + J_ li x w 



i 



un punto generico dello S k tangente in x alla (dove, come nel seguito, 

 sottintendiamo che l'indice i della sommatoria varii da 1 a k, e poniamo 

 ìx 



x lx) = - — , ecc.), lo Sj ft £ tangente in y alla W tk è determinato dai punti 



(2) x , x llì , x lt1 , ... , x m , V i,. , V A. x (i2) , ... , X *i s"*' • 



! 1 < 



w/* 1 ) 



Da ciò emerge senz'altro che, se la V fc rappresenta equazioni 



ù 



di Laplace linearmente indipendenti, vale a dire ha, nel punto generico x, 

 uno S 2ft osculatore, questo S 2 fc contiene i punti (2), e perciò, quali che siano 

 i valori che si attribuiscono alle l. coincide con £; e, viceversa, che, se i 

 punti (2) stanno in uno stesso S 2 k, quali che siano i valori delle X, tale S,* 

 contiene il punto x e tutti i suoi derivati primi e secondi, ed è pertanto 

 osculatore alla V ft in x. 



Per k — 2, non sono possibili altri casi, diversi dai due ora accennati; 

 ma, per k^>2, si potranno avere delle Y k che si comportino in modo, 

 per cosi dire, intermedio, rispetto a quei due. Si potranno cioè avere 

 delle V ft tali che, entro ogni loro S ft tangente generico, gli spazi, y, di 

 contatto della W 2ft coi singoli suoi S 3ft tangenti abbiano dimensione g con 

 1 <Cg <C&- Appunto la ricerca di tali particolari V ft viene iniziata in questo 

 lavoro per i primi valori di k . 



2. Se il putito (1 ) e il punto x + X /i, x a) sono due punti generici 



situati entro un medesimo spazio y, la proprietà che abbiamo supposta per 

 la V ft si traduce in questa, che i punti 



(3) Tmx^ (/=1,2,...A) 



stanno nello S 2 h dei punti (2). Scrivendo che ciò avviene, si avranno per x 



delle equazioni di Laplace, tra le quali non potranno esservene che 

 \\ 



m <C linearmente indipendenti (ved. il num. precedente). 



u 



P) Cfr. Segre, op. cit. : b), n. 21. 



