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Per semplificare il linguaggio, introduciamo, in relazione col sistema 

 di equazioni di Laplace rappresentato dalla V ft , il sistema lineare 2 delle 

 quadriche ad esso associate ( x ) : sono le qnadriche di imo spazio S ft _! , dove 

 si fissi un sistema di coordinate proiettive omogenee , , tì 2 , ... , d h , rappre- 

 sentate dalle equazioni che si ottengono annullando le forme quadratiche 

 associate a quelle equazioni di Laplace, cioè ricavate da esse trascurando 

 i termini in x e nelle sue derivate prime, e sostituendo le derivate se- 

 conde x uj) coi prodotti OiOj (i ,j = 1 , 2 , ... k). E, finalmente, indichiamo 

 per brevità le T X f { , y_ (ii 0; , ecc., rispettivamente con X . fi , ecc. 



Allora, se al punto (1) (e a tutti quelli della retta che lo proietta da x) 

 si fa corrispondere nello S>,_, [0] l'iperpiano X = 0, ai 'punti di uno spazio y 

 corrisponderanno in [0] gli ipei piani per uno spazio a di dimensione 

 k — g — 1 ; e alla totalità degli spazi y corrisponderà una totalità r , oo ft -0, 

 di 0k~g-i , tale che in un iperpiano generico di [0j ne giaccia uno. 



Le equazioni di Laplace, di cui prima si è detto, avranno per associate 

 le quadriche di equazione 



(4) 0^+^ = (e = 1,2,... k) 



dove le m,- sono convenienti forme lineari (eventualmente evanescenti) nelle 0. 

 Si chiami, per un momento, 2 1 il (minimo) sistema lineare cui apparten- 

 gono le (4) per una X rissata, e variando la fi (in modo, naturalmente, 

 che fi — passi per lo o" A _ s _, di X = 0), e 2' la sezione di 2 l con X = 0. 

 In 2 l , che è contenuto in 2, non vi è nessuna quadrica passante per 2 = 

 [se no, l'equazione di Laplace, di cui questa, sarebbe la quadrica associata, 

 esprimerebbe che i punti (2) non sarebbero linearmente indipendenti, e 

 perciò la varietà W avrebbe, contro l'ipotesi, dimensione <^2k~\; cosicché 

 2 X e 2' hanno notoriamente la medesima dimensione. Ora, le quadriche 

 di 2' contengono tutte lo di A = 0, e inoltre fa evidentemente parte 



di 2' ogni quadrica costituita da uno S ft _ 3 generico insieme con uno Sfc_ 3 

 qualunque per o h _ g ^: perciò 2' coincide col sistema lineare, di dimensione 



<K\ s k(k-l) (k — g + l)(k — g) 



(5) J = ~2 2 J ' 



costituito dalle quadriche di X = passanti per ^h-g-i • Tale sarà adunqne 

 la dimensione di 2 } ; quindi si avrà intanto 



(6) 2 > m - 2 2 ' 



Di più, per Oh-g-\ passa bensì un sistema lineare di quadriche, conte- 

 nuto in 2, la cui dimensione è J (il sistema 2^, ma non un sistema più 



(*) Cfr. il n. 2 della I fra le mie Note citate. 



