ampio, perchè, Della ipotesi contraria, eatro questo sistema vi sarebbero 

 delle quadriche distiate che produrrebbero su X — uaa medesima sezione ; 

 e questo implicherebbe l'appartenenza di ^, = a qualche quadrica di 2, 

 ciò che abbiamo già visto doversi escludere. Viceversa, si supponga che il 

 sistema 2 sia dotato delle proprietà che abbiamo finora trovate come ne- 

 cessarie, e siano X = e /n = due S ft _ 2 generici secantisi in uno dk- g -\ 

 di r. Allora, se la qnadrica 0^ = sta in 2, questo sistema contiene la 

 quadrica (4) dove si supponga mi evanescente; se no, quella quadrica e il 

 sistema lineare 2 { delle quadriche di 2 passanti per <Jn-g-i determinano un 

 sistema lineare, avente ancora per base , la cui dimensione è J -f- 1 ; 



e poiché la sezione di questo sistema con 1 = ha invece dimensione J, 

 si trae che in esso sistema vi è una quadrica contenente come parte X = : 

 quindi si arriva ancora a concludere l'esistenza, entro 2, di una quadrica 

 avente per equazione la (4). 



Possiamo quindi concludere : 



L° V ft per le quali, entro ogni loro S ft tangente generico, gli spasi 

 di contatto della varietà W 2 ; e coi suoi singoli S 2 s tangenti hanno dimen- 

 sione g (1 < g < k) sono, tutte e sole, le V,. rappresentanti un sistema 

 di m equazioni di Laplace linearmente indipendenti, con 



( 6) *g= a > m > *) . (* =j + *) ì* - t 



<?7ie, wé//o spano S ft _, quadriche associate, esista un sistema, r, 



oo h ~9 , di spasi 0ft_0_i dotato delle seguenti proprietà: 



1) ?w iperpiano generico di S ft _i #za<?e mwo e «ra so^o (fn-g-i di 



2) joer ók-g-i generico di r passa un sistema lineare di qua- 

 driche, contenuto entro quello, 2, delle quadriche associate, di dimensione 



k{k—l) (k — g + l){k — g) 

 (5) J== — \ 2 1; 



ma non esiste un analogo sistema di spazi e aventi dimensione <C k — g — 1 ; 

 nè esistono qualriche di 2 contenenti un iperpiano arbitrario. 



3. La determinazione delle V ft che stiamo indagando si potrà quindi 

 fare risolvendo successivamente questi due problemi : 



A) trovare tutti i sistemi di quadriche che soddisfanno alle condi- 

 zioni ora enunciate; 



B) assegnare le soluzioni (o almeno un certo numero di soluzioni 

 linearmente indipendenti) dei sistemi di equazioni di Laplace, le cui qua- 

 driche associate costituiscono un sistema di quelli trovati in A) . 



Per k = 3, il solo caso possibile è quello di g = 2; per esso, anzi, 

 più in generale, per k qualunque (purché > 2) e g = k — 1, il problema A) 

 si risolve senz'altro e si trova così: 



