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Le V* (k > 2) per le quali, entro ogni loro S ft tangente generico, gli 

 spazi di contatto della varietà W 2S coi suoi singoli S 2ft tangenti hanno 

 dimensione k — 1 , sono, tutte e sole, le V ft rappresentanti un sistema di 



— — 1 equazioni di Laplace linearmente indipendenti, le cui qua- 



Li 



driche associate passano per una retta, senza formare però un sistema 

 entro cui vi siano quadriche contenenti un iperpiano arbitrario 



Matematica. — Sviluppo degli integrali di un'equazione diffe- 

 renziale in serie di integrali definiti. Nota di Francesco Tri- 

 comi, presentata dal Corrisp. K. Màrcolongo (*). 



1. Sia 



(1) fly , y' , y" , ... y<"> , x , <p(x) , 9 '(x) , ... <f>™ (a?)] = 



un'equazione differenziale di ordine n, contenente, a guisa di parametro, la 

 funzione <p{x) e le sue derivate sino all'ordine m. È chiaro che i valori 

 che un determinato integrale particolare y di essa riceve in un intervallo 

 (a , b) dipendono da tutti i valori assunti in questo da y>(x) e dalle sue 

 prime m derivate; in altri termini la linea \_y~] è una funzione F([$p]) 

 della linea [<p]. 



Il Volterra ( 3 ) ha mostrato come, riuscendo ad integrare una certa 

 equazione differenziale lineare di n* simo ordine, sia possibile calcolare le de- 

 rivate dei vari ordini di questa funzione F( [</>]), la quale però, in gene- 

 rale, non appartiene alla classe di quelle sviluppabili in serie di Taylor 

 generalizzata, presentando dei punti eccezionali. 



Se però m = 0, cioè se nell'equazione figura solo y>(x) e non le sue 

 derivate 



(2) f[_y, y',y",...y^,a:, 9 {x)-] = 0, 



questa difficoltà non si presenta più ed almeno in un certo campo, 



(') Per k = 3, questa limitazione è ovviamente superflua. Ma non sempre: per es., 

 per k = 4, essa conduce a escludere i sistemi 2 costituiti da oo 4 quadriche (di S 3 ) che 

 segano un piano fisso in una stessa coppia di rette (eventualmente coincidenti); e non 

 altri, come si rileva dalla considerazione, che il non essere soddisfatta quella limitazione 

 equivale all'essere indeterminata la jacobiana del sistema lineare oo 4 di quadriche, duale 

 del sistema apolare a 2, ciò che può solo avvenire nel caso indicato (cfr. Toeplitz, Ueber 

 Si/sterne von Formen deren Funktionaldeter minante identisch verschwindet. Breslau, 1905). 



( 2 ) Pervenuta all'Accademia il 13 agosto 1920. 



( 3 ) V. Volterra, Leeoni tur les fonctiont de lignei (Paris, Gauthier-Villars, 1913), 

 pag. 30 e seg. 



