sarà sviluppabile in serie di potesse di [y] ( 1 ), cioè sarà una funzione 

 analitica di questa linea. In altro parole possono ottenersi degli sviluppi 

 degli integrali della (2) in serie di integrali definiti, validi nell'intorno di 

 un valore asseguato della finizione g>(x), p. es cp{x) = 0. 



Nella presente Nota considererò il caso che la (2) sia un'equazione 

 lineare di 2° ordine e si assuma come <p(x) il coefficiente della caso nel 

 quale gli sviluppi in discorso si presentano sotto una forma molto semplice. 

 Le formule che così stabilirò sono interessanti specialmente pel fatto che, sotto 

 certe condizioni, esse restano valide anche se l'equazione presenti delle sin- 

 golarità non rientranti nel caso di Pachs, cioè sia un'equazione ad integrale 

 generale irregolare, come quelle studiate dal Thomè. 



2. Sia dunque l'equazione 



(3) y"+p(x)y' + <p(x)9 = 0, 



dove p(z) è una funzione definita nell'intervallo (0 , a) nel quale, pel mo- 

 mento, supporremo non presenti alcuna singolarità. Siano y?(x) ed y\{x) due 

 integrali linearmente indipendenti dell'equazione 



(4) y" + p{x)y' = Q 



ottenuta ponendo nella (3) y>(x) — 0, e sia W(x) il loro Wronskiano. Ap- 

 plicando una formula del Volterra ( 2 ) si trova immediatamente che la de- 

 rivata n e8imà di \_y~\ rispetto a [y] e ai punti £i , f 2 , ... £„ , (£, 

 dell'intervallo (0 , a), per [<p] = [0] , è nulli se x < f„ mentre, se x > f„ , 

 è data dalla formula 



«ì r_aij/]__~| . v 



1 ] LvoH*,, ...wJw-[o] w " 



I*. *(*.) + *jfU*.)Ìg^ 



dove <?, e c t sono due costanti dipendenti dai valori iniziali che individuano 

 l'integrale [?/] e. per comodità di notazione, si è posto x = $ n +\ . 



Per la formula di Taylor generalizzata avremo dunque, con facili tras- 

 formazioni, almeno formalmente 



(6) y{x) = e x + c i V{x) + 



i 1 ) Cfr. F. Tricomi, Le serie di potenze nel campo delle funzioni di linee (Rend. 

 Accad. Se. fig. mat. di Napoli, serie 3 a , voi. 26, 1920). 

 ( 2 ) Loc. cit, prima formula della pag. 33. 



