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avendo osservato che due integrali linearmente indipendenti dalla (4) sono 

 evidentemente 



===== 1 , 2/S = P(«) 



dove 



(7) Y{x) = e~ S » VW du , P(«) = fV(tt) <te . 



3. Mostriamo ora come la soluzione trovata non sia solo formale ma 

 bensì effettiva e rappresenti inoltre, ove le c x e c 2 si riguardino costanti 

 arbitrarie, l'integrale generale della (3). 



All'uopo osserviamo anzitutto come, indicando con un opportuno punto 

 compreso fra f< e (e = 1 , 2 , ... n), la (6) possa scriversi 



y(x) = c x + c 2 P(ìc) + 



da cui. indicando con s il modulo della linea [9] ed osservando che, come 

 è facile vedere, 



(x — £„) (£„ — ?„_,) ... (£ 2 — £,) < (ce — ? 0»/ w" < a n j n n < a"/ n ! , 

 si trae 



(8) \y{x)\<\c 1 \ + \c*mx)\ + 



+ 1 ttX^X^^- 1 I la ? N + ki| |p(x)| 1 è III • 



Avendo supposto che p(x) non presenti alcuna singolarità in (0 , a) , 

 esisterà un numero Asso M tale che sia sempre |jj(ìc)|<M e quindi 



Pertanto, ponendo per brevità \ci\ -f- 1 tf 2 1 #£ Ma == C , dalla (8) potrà ricavarsi 

 [ y(») |< C + f C e^ {"(Ih f^^-ì • • • f* 2 #1 , 



da cui, a fortiori, 



\y{x)\< G + f ^ C * 2 » M « a» = C e a ^ a * , 



n=l W ' 



il che mostra che, se <p{x) si conserva sempre limitata, cosa che supporremo 

 sempre, la serie (6) è assolutamente ed uniformemente convergente. 



Ricavando dalla (6), con la derivazione termine a termine, i valori 

 di y' ed y" , è agevole verificare direttamente che quella serie soddisfa effet- 

 tivamente la (3). 



Inoltre dico che se si riguardano c l e <? 2 come costanti arbitrarie, la (6) 

 è l'integrale generale dell'equazione (3). 



