Infatti, sia J([y])(#) il determinante funzionale di y ed y rispetto 

 a d e d . Si vede immediatamente che per [gf| = [0] si ha 



J([0])(*) = P'l*)4=0; 

 ma J([<?]) è manifestamente una funzione continua di [<p] (*), dunque, al- 

 meno in un certo intorno di [<p] = [0] , dovrà essere J([</>])(#) =^ 0, il che 

 prova l'asserto. 



4. Consideriamo ora il caso in cui p(x) presenti nell'intervallo (0 , a) 

 un numero finito di punti singolari; anzi, poiché ciò può farsi evidentemente 

 senza diminuzione di generalità, supponiamo che p(x) divenga infinita sol- 

 tanto nell'estremo di destra dell'intervallo. L'ipotesi restrittiva che intro- 

 durremo è che p(x), al tendere di x ad a, si conservi, da un certo a in 

 poi, sempre positiva, ma l'ordine del polo o anche l'essere a eventualmente 

 un punto singolare essenziale, è indifferente. 



Per semplicità supporremo che sia a < 0, chè, se così non fosse, spez- 

 zeremmo l'intervallo (0 , a) nei due (0 , a) e (a, a), nel primo dei quali 

 p(x) sarebbe sempre limitata, mentre l'altro si troverebbe nelle condizioni 

 suaccennate. 



Essendo p(x) ^> , la prima delle (7) mostra che V(x) è una funzione 

 sempre decrescente al crescere di x, sicché si avrà, da una parte, 



p'(r,)/F(?,)<i, (* = 1,2,. ..?*), 



e dall'altra ?(x) < fV(0) dx < P'(0) a 



Pertanto, ponendo per brevità -f- \d\ a P'(0) = C , dalla (8) potrà 

 trarsi 



\y(x) |< C + Y ^ C a n = C e a '* , 



il che mostra che, anche in queste nuove ipotesi, la serie (6) converge as- 

 solutamente ed uniformemente in tutto l'intervallo (0 , a) , estremo destro 

 incluso. 



Se p(x) ha in a un polo di ordine superiore al primo, il risultato tro- 

 vato sembra a prima vista in contradizione col teorema fondamentale del 

 Thomè ( 2 ) che in questo caso, essendo 1' unità l'indice caratteristico della 

 equazione (3), ci dice non potere esistere più di un integrale linearmente 

 indipendente regolare per x = a. 



Questa difficoltà si toglie però facilmente osservando che, nel caso in 

 esame, si ha manifestamenùe P'(#) = 0, il che, come è facile vedere, im- 

 plica che pure J(a) deve essere zero, sicché, per x = a, la (6) non rappre- 

 senta più l'integrale generale della (3), ma soltanto un suo integrale par- 

 ticolare. 



(*) Ved. Tricomi, loc. cit., teorema VI. 



( 2 J Ved. per es. E. Picard, Traité cTAnalysc. 2 e éd., tome III (Paris, Gauthier- 

 VilUrs, 1908), pag. 297. 



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