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a appartenente a una diversa involuzione ; e queste due involuzioni generano 

 sopra F 4 un gruppo infinito, che è il gruppo Irrazionale totale della super- 

 ficie ( 1 ). Allo stesso risultato si perviene per ogni valore di m pari e > 6, 

 come sarà mostrato nella presente Nota ( 2 ). 



La differenza fra i due tipi di F 4 non è però inerente, come potrebbe 

 sembrare, o almeno non è inerente soltanto all'essere m rispett. dispari o 

 pari (fatta eccezione pel valore pari minimo m = 4), perchè anche per ta- 

 luni valori dispari di m (13, 15, 27, 29, ...) si hanno F 4 con ulteriori reti 

 irriducibili di genere 2, e perciò con infinite trasformazioni birazionali. 



La determinazione delle reti di genere 2 e perciò di grado (virtuale) 2 

 esistenti sulla proposta P 4 dipende dalla risoluzione in numeri interi di una 

 equazione di Fermat-Pell t 2 — Du 2 = 1 , la quale, essendo D > 0, ha infi- 

 nite soluzioni. Ma può avvenire che questi sistemi di genere (virtuale) 2, 

 all' infuori della prima rete di C m , siano tutti riducibili (composti di un 

 sistema di genere e dimensione > 2 , più una sua curva fondamentale, come 

 parte fissa); e ciò avviene precisamente quando la F 4 contiene una curva 

 razionale (per m = 4, il punto doppio), la quale, contata eventualmente più 

 volte, costituisce questa parte fissa; vale a dire quando è risolubile in nu- 

 meri interi l'equazione t* — Du 2 — — 1 (collo stesso D). Questo, se m è 

 pari, avviene solo per m = 4. Invece, se m è dispari (>. 5), nel qual caso 

 D = m 2 — '8, l'equazione t 2 — Du* = — 1 ammette certo soluzioni se 

 D = m* — 8 è numero primo ; allora, sopra F 4 , le G m sono le sole curve 

 irriducibili di genere virtuale 2, e l'involuzione I è l'unica trasformazione 

 birazionale; mentre se m* — 8 non è numero primo, l'equazione accennata 

 può non avere o anche avere soluzioni ( 3 ). 



Al caso di m dispari verrà dedicata una prossima Nota. Aggiungo in- 

 fine che tali considerazioni sono facilmente estendibili alle superficie di ge- 



f 1 ) Superfìcie segnalata da me nel 1906 (Rend. R. Ist. lombardo, serie 2*, voi. 39, 

 pag. 1071), e il cui gruppo venne determinato in modo completo dal Severi [Comple- 

 menti alla teoria della base per la totalità delle curve di una superficie algebrica, Rend. 

 Circ. mat. di Palermo, voi. 30 (1910), pag. 265]. 



( 2 ) La presente Nota estende ad m pari qualunque, con lievi modificazioni, la trat- 

 tazione data dal Severi pel caso m = 6. Sul caso successivo m — 8 ho trovato un cenno, 

 non però la determinazione del gruppo totale, in una Memoria recente di Sliarpe e Snyder, 

 venuta a mia conoscenza dopo la compilazione di questo lavoro \_On certain types of 

 involutorial space transformations, Trans. Amer. Math. Soc, voi. 21 (1920), pag. 52; 

 ved. in part. pag. 60]. 



( 3 ) Legendre, Théorie des nombres (Paris, 1830), voi. I, pag. 65, come pure tav. X, 

 nota alla fine del volume. Per m dispari, m 2 — 8 è certo del tipo <kn + 1 (n intero), e 

 non divisibile nè per 3 nè per 5 ; può essere bensì divisibile per 7, ed è tale per i va- 

 lori sopracitati m = 13, 15, 27, 29. Per questi valori di m, l'equazione 



t % — (m 2 — 8) w 2 = — 1 



non ammette soluzioni intere. 



