nere uno di spazi superiori (F ?17-t di S w , a sezioni di genere n, vincolate 

 del pari a contenere una curva di genere 2). 



2. Consideriamo una F 4 condotta nel modo più generale per una curva 

 di genere 2 e di ordine qualsiasi pari m = 2k (k ^ 3). Per la P 4 , il dover 

 contenere una tal curva (come una qualsiasi curva che non sia sua interse- 

 zione completa con altra superficie) è condizione semplice; essa dipenderà 

 perciò da 83 parametri (18 moduli). Per la C\ k passerà un sistema lineare 

 di superficie di ordine k, non contenenti la P 4 come parte, di dimensione 

 non inferiore a 



K*t l j- l !-i('7 1 )- , l- i -i* : »-'+ i l-- 



Perciò la CI" si potrà certo ottenere come intersezione di F 4 con una P*, 

 avendo come residua un'altra rete di Gf (in generale anche irriducibili). 

 Siccome tali C|* dipenderanno, in Sj , al più da 33 -j- 2 = 35 parametri, 

 così, se 4-2#>35, ossia k^>4, le G\ h contenute in F 4 saranno curve 

 particolari, fra quelle di ordine 2k e genere 2 in S 3 . 



La prima Ci* (che indicheremo con y) e una sezione piana C costi- 

 tuiranno sopra P 4 una base di determinante 



HÌ ?|~««*--«>; 



perciò una base certo minima ogni qualvolta k % — 2 non sia divisibile per 

 alcun numero quadrato perfetto ('). Noi supporremo qui che la base (y , C) 

 sia minima, riservandoci di esaminare in seguito l'ipotesi opposta ( 2 ). 



La determinazione delle reti |Ay-{-/*C| di genere 2, perciò anche di 

 grado (virtuale) 2, esistenti sopra F 4 dipende dalla risoluzione in numeri 

 interi dell'equazione: 



/ 2 + 2k ■ + 2/** = 1 



la quale, mediante la sostituzione 



X = t — ku fi = u 



si muta nell'equazione di Permat-Pell: 



(1) t* — (k* — 2)u* = 1. 



(- 1 ) Invero, in tal caso l'unico numero quadrato perfetto e divisore di D sarebbe 

 il 4. Ora il determinante di una qualsiasi base sopra F 4 , essendo simmetrico e avendo 

 come elementi principali numeri pari, deve essere congruo, mod. 4, a zero oppure tre; 

 mentre invece D : 4 = — (A 2 — 2) è congruo a due, oppure uno. 



( 2 ) Cfr. la nota alla fine del lavoro. Si osservi fin d'ora che k 2 — 2 non può essere 

 divisibile nè per 3, nè per 4, nè per 5. Può essere divisibile per 7, e anche per 7 2 ; il 

 minimo valore di k pel quale ciò avviene è k = 10. 



Rendiconti. 1920, Voi. XXIX, 2* Sem. 23 



