— 178 — 



Le reti di genere 2 sono date perciò dalle combinazioni 

 (2) (t — ku)y + uC 



colla condizione (1), avvertendo inoltre che t deve sempre essere positivo. 

 Infatti l'ordine delle curve (2) è (t — ku) 2k -f- 4u , e deve essere positivo; 

 k 2 — 2 



da ciò segue t > — - — w ; per conseguenza, se t < , sarà anche u < , 



fc 



£2 2 



colla condizione [/|<C — r — \u\, la quale è incompatibile colla (1) ('). 



fc 



La più piccola soluzione intera positiva della (1 ) è data da t = k 2 — 1 , 

 u = k. Questa è infatti una soluzione della (1); e d'altra parte la (1) stessa 

 può scriversi: 



t* = (ku— 1)« + 2m(£ - u) 



dove l'ultimo termine, se <^u <Ck , è positivo. Ora il quadrato inferiore 

 e più prossimo a (ku — l) 2 è (ku — 2) 2 , che ne differisce per 2ku — 3, 

 numero certo superiore all'ultimo termine della relazione precedente (almeno 

 se u > 1 ; mentre per u = 1 si avrebbe l'assurdo, in numeri interi posi- 

 tivi, t* = ¥ — 1). 



Per / = 1 , u = si ha la rete | y \ ; per t = k 2 — 1 , u = k si ha la 

 rete |<f| = |#C — y|, residua di |y| rispetto a superficie F*. 



La superficie F 4 non contiene curve razionali. Tali curve essendo di 

 grado virtuale — 2, la loro determinazione dipende infatti dalla risoluzione 

 dell'equazione 



X* + 2k ■ Xfi + 2fi 2 = — 1 e perciò t 9 — (k 2 — 2) u 2 = — 1 . 



Ora, se quest'ultima equazione ammettesse soluzioni intere, indicando 

 con t* , u* la più piccola sua soluzione intera positiva, l'espressione 



t» + itnl/V ==(**-h«*|/ì))" (D = # 2 — 2) 



darebbe per t n , m„ tutte le altre soluzioni intere positive della stessa equa- 

 zione, se n dispari; e tutte quelle della (1), se n pari. Dovrebbe essere 

 quindi, per n == 2 , 



t t = k 2 — l = t* 2 -{- (k 2 —2) u* 2 ; 



relazione che , nel campo intero positivo , ammette l' unica soluzione 

 t* = u* = 1 , la quale, se k = S, non soddisfa però alla 



t 2 — (k 2 — 2) u 2 = — 1 . 



^2 2 



(!) Dalle due relazioni |f[-< — j |«l , 1 1 1 > y A 2 — 2-|w| seguirebbe infatti 



fcì 2 / 



— : >yfe 2 — 2, e perciò, elevando a quadrato e riducendo, k 2 — 2>/c 2 ; il che è 



k 



assurdo. 



