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tali che, eatro la prima successione, ogni rete di posto pari sarà scambiata 

 dall'involuzione Ix colla rete successiva (la prima restando invariata), e dal- 

 l'involuzione I 2 colla precedente. Analogamente avverrà per la seconda suc- 

 cessione, leggendo I 2 al posto di I, , e viceversa. Con un conveniente pro- 

 dotto di involuzioni li e I 2 si potrà perciò trasformare una qualsiasi delle 

 reti considerate in qualunque altra della medesima successione. L'involuzione 

 cui appartiene ad es. la rete (t Sp , u ip ) risulta dal prodotto (I t I,)** -1 • Ij. 

 Reti di egual posto p nelle due successioni si compongono di curve dello 

 stesso ordine, mutuamente residue, sopra F 4 , rispetto a superficie di or- 

 dine U p — Up-i . 



Da quanto precede, si può già dedurre che le involuzioni T, e I 2 ge- 

 nerano, coi loro prodotti, il gruppo totale delle trasformazioni birazionali 

 di P 4 . Infatti una qualsiasi trasformazione sopra F 4 , che indicheremo con r, 

 muterà la rete \y\ anche in una rete di genere 2. Se questa appartiene alla 

 successione I), esisterà un prodotto II di involuzioni 1[ , I 2 che muterà di 

 nuovo quest'ultima rete in il prodotto TI1 lascerà dunque invariata 

 la rete e poiché le reti j ò\ = (/ 1 ,w, ) e (ti , — u x ), scambiate fra 



loro da \ Y , sono le sole che segnino sulle curve y gruppi di 2k* — 2 punti ( x ), 

 moltiplicando eventualmente ancora il prodotto r ■ II per l t avremo un'ope- 

 razione che lascerà invariate entrambe le reti |y| e perciò la loro 

 somma |#C|, e perciò ancora |C|: dunque una trasformazione proiettiva, 

 che lascerà anzi invariato ogni sistema lineare sopra F 4 . Ed è facile con- 

 vincersi che una tale trasformazione non può essere che l'identità ( 2 ). 



Del pari, se la trasformazione r muta la rete | y | in una rete della 

 successione II), esisterà un analogo prodotto T- II trasformante \y\ in |<f|; 

 e \S\ in una rete le cui curve incontrano le ó stesse in 2k* — 2 punti, la 

 quale nuova rete, applicando eventualmente ancora la I 2 , si può ottenere 

 sia |y|. Si avrà così un'operazione, la quale, scambiando le reti \y\ e |<f|, 

 lascerà invariato il sistema lineare | k C | , loro somma, e sarà quindi di 

 nuovo una proietti vità ; il che è da escludersi, perchè il quadrato di questa 

 proiettività sarebbe l'identità, la proiettività stessa perciò involutoria, e F 4 

 dipenderebbe da 11 moduli al più. 



(*) Ogni rete di genere 2 è infatti del tipo (f — AmI^ + wC; e le sue curve incon- 

 trano le y in un numero di punti eguale a (t — ku) • 2 -f- u • 2k = 2t . Dovendo tale nu- 

 mero risultare eguale a 2k 2 — 2 , sarà t = k 2 — 1 = t t ; u — =t u lr 



' 2 ) Kappresentando F 4 , mediante la Ij, sul piano doppio con sestica di diramazione, 

 si avrebbe in questo piano un'omografia trasformante in sè la detta sestica; e con consi- 

 derazioni analoghe a quelle usate dal Severi per il cas" di un'omografìa involutoria 

 {Complementi ecc , n. 12), si può concludere che, se quell'omografia non è identica, la 

 sestica deve dipendere da un numero di moduli inferiore all'attuale (18). Le sestiche 

 piane che ammettono trasformazioni omografiche periodiche si trovano anche enumerate 

 in un lavoro di J. Voitek (Sitzungsber. d. Kón. Bohmischen Ges. d. Wiss. : Math.-Naturw. 

 Klasse, 1913, Xlllj. 



