4 Le trasforma/.ioni. birazìonali della superficie F 4 si rispecchiano in 

 sostituzioni lineari intere di modulo =t 1 della forma quadratica fondamen- 

 tale di F 4 (che scriviamo liberata dal fattore numerico 2): 



f==X* -j- 2k-lp -j- 2/i 2 . 



Le sostituzioni di modulo -j- 1 che mutano in sè la f sono tutte del 



tipo ( . . ) , dove t,u sono soluzioni della (1), e t può sup- 



\ U , t-f - /cu/ 



porsi positivo; esse formano un gruppo ciclico, costituito dalle potenze della 

 sostituzione corrispondente alla più piccola soluzione positiva della (1), 

 t = k* — 1 , u = k; dunque dalle potenze della sostituzione: 



/-l -2k \ 

 \ k 2k* — 1 ì ' 



Le sostituzioni di modulo — 1 si ottengono dalle precedenti, moltipli- 

 candole per una qualsiasi, determinata ma arbitraria, fra esse; ad es. per 

 la sostituzione * 



*-c. -\) 



che è immagine dell'involuzione Ì A (X' = A-j-2/fyt , fi' = — p); questi pro- 

 dotti sono anche tutti operazioni involutorie. 



La I* (cfr. n. 3) ha per immagine la sostituzione lineare 



/_ ( 2A* — 1) -2k\ 

 \ 2k(k*—\) 2& s — 1/' 



Al prodotto 1 1 1 2 corrisponde perciò la sostituzione 



, j /l, 2k\ 1— (2k 2 — 1) , —2k\_ 

 11 \0 . — 1/ \ 2k(k t — 1) , 2k % — \)~ 



_/— (2^ — 1), _4A(A«— 1) \ 

 \ 2k(k* — 1) , (2& 2 — 1)* — 2/i 2 / 



Vediamo così che il gruppo totale delle trasformazioni birazionali di F 4 , 

 generato dalle involuzioni I, e I 2 , si rispecchia (come già noto per k = 3) 

 nel gruppo di sostituzioni lineari di f costituito dalle sole potenze pari 

 di T, e dai loro prodotti per la S. Le potenze dispari di T e i loro pro- 

 dotti per sostituzioni di modulo — 1 non sono immagini di trasformazioni 

 birazionali sopra F 4 ( x ) ( 2 ). 



(*) Per es. la sostituzione lineare TS' = ^ ^ corrisponderebb 



e a un omo- 



grafia involutoria scambiante le 2 reti \y\ e |<J|; scambio che, come sappiamo, non è 

 possibile. 



( 2 ) Accenniamo ora quali modificazioni subirebbe ciò che abbiamo detto sin qui, 

 nel caso in cui le curve y e C non costituissero sopra F 4 una base minima (il che po- 



