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trebbe avvenire soltanto quando il numero fc 2 — 2 ammetta un divisore quadrato per- 

 fetto). 



La superficie F 4 in parola conterrà pur sempre tutte le reti di genere 2 che ab- 

 biamo costruite, e ammetterà tutte le trasformazioni birazionali prodotti di fattori 1 1 

 e I 2 ; soltanto, essendovi sulla superficie anche curve non rappresentabili sotto la forma 

 Xy-^-fiC (perchè la base y , C non è minima), vi potrebbero essere anche altre reti di 

 genere 2 e altre trasformazioni birazionali. (Il gruppo ottenuto sulla F 4 sarebbe dunque 

 soltanto parziale, come sarebbe stato ad es. sulla precedente F 4 quello generato, anziché 

 da ì 1 e I 2 , dalle due involuzioni IiI 2 Ii e I 2 IiI 2 ). In tal caso cambierà, in relazione 

 alla nuova base minima, anche la forma fondamentale della superficie, e diverrà più ampio 

 il gruppo ciclico delle corrispondenti sostituzioni di modulo -4- 1 ; a ^ a 1' verrà sostituita 

 un'altra operazione generatrice, di cui essa sarà potenza di esponente finito e > 1 ; e per 

 la nuova equazione di Fermat-Pell, che subentrerà alla (1), si avrà una soluzione positiva 

 minima, corrispondente sopra F 4 a una rete di genere 2 di ordine minore delle pre- 

 cedenti. 



Ora, se la proposta F 4 è stata condotta per una G 2 m nel modo più generale, non 

 sembra ammissibile ch'essa debba contenere, di conseguenza, anche curve di genere 2 e 

 di ordine <^m. Invero, si consideri un fascio generico di superficie del 4° ordine. In 

 questo fascio vi s^rà un numero finito di F 4 contenenti una C 2 m (condizione semplice 

 per la F 4 ), e perciò una rete di tali curve. Il numero di tali F 4 è quello stesso delle C 2 m 

 che si appoggiano alla curva T 16 , base del fascio, in 4m punti, e inoltre soddisfano a due 

 condizioni ulteriori, atte a individuare la C 2 m entro la propria rete; per es. si appoggiano 

 a 2 assegnate trisecanti della T 16 (che sono unisecanti per le superficie del fascio). Ora 

 questo numero è funzione di m, e certo crescente al crescere di rn stesso: perciò, nel 

 fascio considerato, le F 4 contenenti curve C> m saranno in numero superiore a quelle con- 

 tenenti curve di genere 2 e di un qualsiasi ordine assegnato <C.m, e le prime non po- 

 tranno contenere, come conseguenza necessaria, anche una curva di ordine assegnato <^m; 

 perciò nemmeno di un ordine qualsiasi <C m (perchè, esclusa la prima eventualità, questa 

 seconda potrebbe presentarsi solo se le C 2 m di S 3 più generali contenute in una F 4 for- 

 massero più sistemi continui separati; il che nemmeno sembra verosimile). Si è perciò con- 

 dotti a ritenere che l'eccezione, prevista come possibile pel caso in cui k 2 — 2 (essendo 

 k = m/2) ammetta un divisore quadrato perfetto, in realtà non si presenti ; e perciò la F 4 

 condotta nel modo più generale per una curva di genere 2 e ordine pari m = 2k, corri- 

 sponda, per ogni valore di k(=^3), al tipo studiato nella presente Nota, dipendente da 

 18 moduli, « dall'intero arbitrario k >. 3. 



