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tuno sistema di parametri. A tale scopo, si osservi che il sistema di due 

 equazioni di Laplace sopra considerato è di quelli che il Bompiani ( 4 ) 

 studiò sotto il nome di sistemi a caratteristica, assegnando per essi l'inte- 

 grale generale. Veramente, i risultati del Bompiani risentono, in parte, di 

 una inesattezza incorsa in un suo ragionamento: essi si possono completare 

 nel modo che segue. Nel caso (non parabolico), in cui nel fascio di coniche 

 associate non ve n'è alcuna costituita dalla retta r contata doppiamente, 

 possiamo valerci senz'altro dei risultati del Bompiani, ai quali rimandiamo 

 il lettore (ved. il n. 19 della sua Nota citata) ( ibis ). Invece, nel caso opposto 

 (parabolico), quel sistema di equazioni si può immaginare costituito da due 

 equazioni, che leghino linearmente a ce e alle sue derivate prime, rispetti- 

 vamente x {11) e a t x az) -\- a 3 x (13ì (dove a 2 e a 3 sono certe funzioni di %i , 

 r 2 ,r 3 ). Il paragone delle due espressioni di a 2 x <112> -j- «3 a: ui3) che, con 

 opportune derivazioni, si traggono da quelle due equazioni, porta allora alla 

 conclusione che, nella prima, sono nulli i coefficienti di x i2ì e z <3) , e che, 

 perciò, la V 3 integrale risultando rigata, il sistema si può supporre ridotto 

 alla forma 



j a 2 z a2) + 03 z (13) + b, a; (1) + b t x i2) + b 3 x l3) -\-bx = 0; 



e conduce ulteriormente a stabilire fra le a e le b le relazioni 



of>+'*, flP-f.** bi l) -\-b tf» b aì | 



«ì «3 bi b 2 b 3 b I 



Di qui si ricava intanto che i rapporti fra le b 2 , b 3 , b non dipendono 

 da t, ; lo stesso si può dunque supporre — senza diminuire la generalità — 

 che valga per le stesse b t , b 3 , b . La considerazione delle ulteriori relazioni 

 compendiate in (9) porta allora a porre 



b 1 = — r l b(t 2 , t 3 ) -f B(t 2 , t 3 ) ; a 2 = — t tl b 2 (r 2 , t 3 ) -f- B 2 (t 2 , t 3 ) ; 



a 3 = — r 1 b 3 (r 2 , f s ) -f- B 3 (zr 2 . t 3 ) . 



In tal modo, poiché la prima delle (8) permette di scrivere 

 x = h(r t , r 3 ) -f- t, k(* t » *s) . 



la seconda diventa 



(11) Bk -f- B 2 k w + B 3 £< 3) -f bh + b, h w + b 3 A< 3) = , 



( 4 ) Citato nella Nota I. 



( 4Ms ) Si avverta tuttavia che il sistema di eq. di Lap. in questione è bensì ridu- 

 cibile alla forma canonica assunta e sfruttata dal Bompiani, ma la dimostrazione di tale 

 riducibilità esige un ragionamento diverso da quello incompleto, che il B. fa al n. 7. 



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